📌 a^½ + a^(-½) = 3을 “제곱”하면 a + a⁻¹이 바로 나옵니다!
이 문제는 유리수 지수의 대칭식을 단계적으로 확장하는 서술형 대표 유형입니다. a^(1/2) + a^(-1/2) = 3에서 양변을 제곱하여 a + a⁻¹을 구하고, 다시 a^(1/2) − a^(-1/2)를 거쳐 a^(3/2) + a^(-3/2)까지 올라가는 3단계 풀이입니다. “제곱 → 뺄셈 → 세제곱” 순서를 확실히 익혀두면 비슷한 서술형 문제를 빠르게 풀 수 있습니다. 정답은 18입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 94번 · 서술형)
a^(1/2) + a^(-1/2) = 3일 때, 다음 단계로 그 과정을 서술하시오. (단, a > 1)
[1단계] a + a⁻¹의 값을 구한다. [3점]
[2단계] a^(1/2) − a^(-1/2)의 값을 구한다. [4점]
[3단계] a^(3/2) + a^(-3/2)의 값을 구한다. [3점]
정답은 18입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
a^(1/2) + a^(-1/2) = 3의 양변을 제곱하면
(a^(1/2) + a^(-1/2))² = 3²에서
a + 2 × a^(1/2) × a^(-1/2) + a⁻¹ = 9
a + 2 + a⁻¹ = 9 (∵ a^(1/2) × a^(-1/2) = a⁰ = 1)
∴ a + a⁻¹ = 7
(a^(1/2) − a^(-1/2))² = (a^(1/2) + a^(-1/2))² − 4 × a^(1/2) × a^(-1/2)
= 3² − 4 = 9 − 4 = 5
이때 a > 1이므로 a^(1/2) > 1 > a^(-1/2), 즉 a^(1/2) − a^(-1/2) > 0
∴ a^(1/2) − a^(-1/2) = √5
a^(3/2) + a^(-3/2) = (a^(1/2) + a^(-1/2))(a − 1 + a⁻¹)
= (a^(1/2) + a^(-1/2))((a + a⁻¹) − 1)
= 3 × (7 − 1) = 3 × 6 = 18
[별해] a^(3/2) + a^(-3/2) = (a^(1/2) + a^(-1/2))³ − 3 × a^(1/2) × a^(-1/2) × (a^(1/2) + a^(-1/2)) = 3³ − 3 × 3 = 27 − 9 = 18
∴ a^(3/2) + a^(-3/2) = 18
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (a^(1/2) + a^(-1/2))²을 전개할 때 중간항 2를 빼먹는 경우.
(A + B)² = A² + 2AB + B²에서 2AB = 2 × a^(1/2) × a^(-1/2) = 2를 놓치지 마세요.
실수 ② (a^(1/2) − a^(-1/2))²을 구할 때 부호 판별을 하지 않는 경우.
제곱근을 씌울 때 a > 1 조건에서 양수임을 반드시 확인해야 합니다.
실수 ③ 3단계에서 a^(3/2) + a^(-3/2)을 (a^(1/2))³ + (a^(-1/2))³로 인수분해하는 것을 떠올리지 못하는 경우.
A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) 공식을 활용하면 1·2단계 결과를 바로 대입할 수 있습니다.
💡 꿀팁 – a^(1/2) ± a^(-1/2) 확장 전략
a^(1/2) + a^(-1/2) = k (k > 0)가 주어지면, 다음을 순서대로 구할 수 있습니다:
① a + a⁻¹ = k² − 2 (양변 제곱)
② (a^(1/2) − a^(-1/2))² = k² − 4 (합차 관계)
③ a^(3/2) + a^(-3/2) = k³ − 3k (세제곱 공식) 또는 = k(k² − 3)
④ a^(3/2) − a^(-3/2) = (a^(1/2) − a^(-1/2))((a^(1/2) − a^(-1/2))² + 3)
이 공식 체인을 암기하면 지수 대칭식 서술형을 빠르게 처리할 수 있습니다.