📌 80ˣ=2, (1/10)ʸ=4, aᶻ=8… 밑이 전부 다른데 어떻게 연결하죠?
이 문제는 서로 다른 세 등식을 밑 2로 통일한 뒤, 조건식 1/x+2/y−1/z=1을 활용해 미지수 a를 구하는 고난도 문제입니다. 각 등식의 양변을 적절히 거듭제곱하면 80, 1/10, a가 모두 2의 거듭제곱으로 표현됩니다. 핵심은 양변을 1/x, 1/y, 1/z 제곱하여 밑을 맞추는 테크닉입니다. 정답은 64입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 82번 · TOUGH)
세 실수 x, y, z에 대하여 80ˣ=2, (1/10)ʸ=4, aᶻ=8, 1/x+2/y−1/z=1일 때 양수 a의 값을 구하는 문제입니다. (단, xyz≠0) 정답은 64입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
80ˣ=2에서 양변을 1/x 제곱하면 (80ˣ)^(1/x)=2^(1/x) → 80=2^(1/x) … ⓐ
(1/10)ʸ=4에서 양변을 1/y 제곱하면 {(1/10)ʸ}^(1/y)=(2²)^(1/y) → 1/10=2^(2/y) … ⓑ
aᶻ=8에서 양변을 1/z 제곱하면 (aᶻ)^(1/z)=(2³)^(1/z) → a^(1/z)=2^(3/z) … 즉 a^(1/3)=2^(1/z) → a^(1/3)=2^(1/z)… ⓒ
ⓐ×ⓑ÷ⓒ를 하면 80×(1/10)÷a^(1/3) = 2^(1/x+2/y−1/z) = 2^1 = 2.
즉 8÷a^(1/3) = 2이므로 a^(1/3)=4.
따라서 a=4³=64.
∴ 양수 a의 값 → 정답: 64
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (1/10)ʸ=4에서 양변을 1/y 제곱할 때, 4=2²임을 놓쳐 2^(1/y)로 잘못 쓰는 경우.
4=(2²)이므로 1/y 제곱하면 1/10=2^(2/y)이며, 지수가 2/y임을 주의하세요.
실수 ② ⓐ×ⓑ×ⓒ로 곱해버리는 실수. 조건식에 −1/z이 있으므로 ⓒ는 나눠야 합니다.
실수 ③ a^(1/3)=4에서 a=4^3=64를 a=4×3=12로 계산하는 단순 실수.
💡 꿀팁 – “양변을 역수 제곱” 테크닉
Aˣ=B 꼴에서 양변을 1/x 제곱하면 A=B^(1/x)로 밑을 꺼낼 수 있습니다. 여러 등식이 주어지면 각각 이 테크닉을 적용한 뒤, 밑끼리의 곱·나눗셈으로 조건식을 활용하세요. 특히 1/x+2/y−1/z=1처럼 지수가 섞인 조건은 “ⓐ^(계수)를 곱하거나 나누기”로 처리하면 깔끔합니다.