📌 2ᵃ=5ᵇ=10ᶜ에서 “밑이 다르니까 비교 불가”라고 포기했다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 서로 다른 밑을 공통 값 k로 통일하는 전형적인 고난도 유형입니다. 2ᵃ=5ᵇ=10ᶜ=k로 놓으면 2=k^(1/a), 5=k^(1/b), 10=k^(1/c)가 되고, 2×5=10 관계를 이용해 지수끼리 연결할 수 있습니다. 보기 ㄱ~ㄷ을 하나씩 짚어가며 여러 밑을 하나로 통일하는 핵심 테크닉을 완전히 정리해 봅시다. 정답은 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 81번 · TOUGH)
등식 2ᵃ=5ᵇ=10ᶜ을 만족시키는 양의 실수 a, b, c에 대하여 보기 3개의 참·거짓을 판별하는 문제입니다. ㄱ. b=1/3이면 a=(1/3)log₂5, ㄴ. 1/a+1/b−1/c=0, ㄷ. 2<a/b<3을 각각 따져봐야 합니다. 정답은 ⑤입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 보기별 핵심 풀이 요약
2ᵃ=5ᵇ=10ᶜ=k (k>1)로 놓으면
2=k^(1/a) → ⓐ, 5=k^(1/b) → ⓑ, 10=k^(1/c) → ⓒ
b=1/3이면 2ᵃ=5^(1/3)이므로 a=log₂(5^(1/3))=(1/3)log₂5. 따라서 참입니다.
ⓐ×ⓑ÷ⓒ에서 2×5÷10=k^(1/a)×k^(1/b)÷k^(1/c)이므로 k^(1/a+1/b−1/c)=1=k⁰. k>1이므로 1/a+1/b−1/c=0. 참입니다.
2ᵃ=k에서 로그 정의로 a=log₂k, 5ᵇ=k에서 b=log₅k이므로
a/b = log₂k / log₅k = log₂5.
log₂4=2 < log₂5 < log₂8=3이므로 2<a/b<3. 참입니다.
∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① k로 놓지 않고 밑이 다른 상태에서 직접 비교하려다 혼란에 빠지는 경우.
2ᵃ=5ᵇ=10ᶜ=k라는 공통 값 설정이 이 유형의 출발점입니다.
실수 ② ㄴ번에서 2×5=10 관계를 떠올리지 못해 1/a+1/b−1/c=0을 유도하지 못하는 경우.
밑끼리의 곱셈·나눗셈 관계를 지수끼리의 덧셈·뺄셈으로 변환하는 것이 핵심입니다.
실수 ③ ㄷ번에서 a/b=log₂5임을 구한 뒤 2<log₂5<3의 근거를 쓰지 않는 경우.
log₂4=2, log₂8=3이므로 4<5<8 → 2<log₂5<3으로 명확히 보여야 합니다.
💡 꿀팁 – aˣ=bʸ=cᶻ 유형 3단계 공략법
① 공통 값 k 설정: aˣ=bʸ=cᶻ=k로 놓고 각 밑을 k의 거듭제곱으로 표현.
② 밑끼리 관계식 활용: a×b=c 같은 곱셈 관계 → 지수끼리 덧셈 관계로 변환.
③ 비율은 로그로: x/y = logₐk / log_bk = logₐb로 깔끔하게 정리.
이 3단계만 기억하면 aˣ=bʸ=cᶻ 유형은 어떤 변형이 나와도 대응할 수 있습니다.