📌 64ᵃ = 81ᵇ = kᶜ 에서 k가 양의 정수? 밑이 전부 다른데 어떻게 연결할까요?
이 문제는 64 = 2⁶, 81 = 3⁴이라는 소인수분해와 공통값 t 치환을 결합하는 유형입니다. 64ᵃ = 81ᵇ = kᶜ = t로 놓으면 t^(1/a) = 64, t^(1/b) = 81, t^(1/c) = k가 되고, 4/a + 6/b = 8/c 조건에서 t^(4/a + 6/b) = t^(8/c), 즉 64⁴ × 81⁶ = k⁸을 얻습니다. 64⁴ = (2⁶)⁴ = 2²⁴ = (2³)⁸, 81⁶ = (3⁴)⁶ = 3²⁴ = (3³)⁸이므로 k⁸ = (8 × 27)⁸, 따라서 k = 216입니다. 정답은 216입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 79번)
0이 아닌 실수 a, b, c에 대하여 64ᵃ = 81ᵇ = kᶜ, 4/a + 6/b = 8/c일 때 양의 정수 k를 구하는 문제입니다. 공통값 t 치환 → 1/a, 1/b, 1/c제곱 변환 → 조건식 대입으로 풀이합니다. 정답은 216입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
64ᵃ = 81ᵇ = kᶜ = t (t > 0, t ≠ 1)로 놓으면
64ᵃ = t에서 양변을 1/a제곱하면 (64ᵃ)^(1/a) = t^(1/a) ∴ 64 = t^(1/a)
81ᵇ = t에서 양변을 1/b제곱하면 (81ᵇ)^(1/b) = t^(1/b) ∴ 81 = t^(1/b)
kᶜ = t에서 양변을 1/c제곱하면 (kᶜ)^(1/c) = t^(1/c) ∴ k = t^(1/c)
이때 4/a + 6/b = 8/c이므로 t^(4/a + 6/b) = t^(8/c)
k⁸ = t^(8/c) = t^(4/a + 6/b) = 64⁴ × 81⁶
64⁴ = (2⁶)⁴ = 2²⁴ = (2³)⁸, 81⁶ = (3⁴)⁶ = 3²⁴ = (3³)⁸
따라서 k⁸ = (2³)⁸ × (3³)⁸ = (8 × 27)⁸ = 216⁸
∴ k = 216
∴ k = 216 → 정답: 216
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 조건이 4/a + 6/b = 8/c인데, 1/a + 1/b = 1/c로 잘못 읽는 경우.
계수 4, 6, 8을 반드시 정확히 반영해야 합니다.
실수 ② 64⁴ = 2²⁴, 81⁶ = 3²⁴ 까지 구한 뒤 k⁸을 구하는 과정에서 지수를 8로 맞추는 것을 놓치는 경우.
2²⁴ = (2³)⁸, 3²⁴ = (3³)⁸으로 변환하는 것이 핵심입니다.
실수 ③ 8 × 27 = 216 계산을 정확히 해야 합니다. 216 = 6³이기도 합니다.
💡 꿀팁 – 조건식의 계수가 1이 아닐 때의 처리법
76~78번에서는 1/x + 1/y + 1/z 꼴이었지만, 이 문제는 4/a + 6/b = 8/c로 계수가 다릅니다.
이때 t^(4/a) = (t^(1/a))⁴ = 64⁴, t^(6/b) = (t^(1/b))⁶ = 81⁶으로 변환하면 됩니다.
핵심 원리: t^(n/a) = (t^(1/a))ⁿ을 활용하여 계수를 거듭제곱으로 바꾸는 것입니다.