📌 3ᵃ = 5ᵇ인데 (a-2)(b-2) = 4? 조건이 두 개라 막막하다면 이렇게 풀어보세요!
이 문제는 TOUGH 난이도의 고난도 지수 문제입니다. 3ᵃ = 5ᵇ = k로 놓고 k를 밑으로 하는 지수로 3과 5를 표현하는 것이 핵심 전략입니다. (a-2)(b-2) = 4 조건을 전개하면 1/a + 1/b의 관계가 나오고, 최종적으로 45ᵃ × (1/5)^(a+b)를 k의 거듭제곱으로 깔끔하게 정리할 수 있습니다. 정답은 225입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 75번 · TOUGH)
두 양수 a, b에 대하여 3ᵃ = 5ᵇ, (a−2)(b−2) = 4일 때 45ᵃ × (1/5)^(a+b)의 값을 구하는 문제입니다. 3ᵃ = 5ᵇ = k로 놓은 뒤 k^(1/a) = 3, k^(1/b) = 5로 변환하고, (a-2)(b-2) = 4에서 1/a + 1/b = 1/2를 유도하여 최종값을 계산합니다. 정답은 225입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
3ᵃ = 5ᵇ = k (k > 1)로 놓고 k를 밑으로 하는 지수를 만듭니다.
3ᵃ = k에서 양변을 1/a제곱하면 (3ᵃ)^(1/a) = k^(1/a) ∴ k^(1/a) = 3 … ㉮
5ᵇ = k에서 양변을 1/b제곱하면 (5ᵇ)^(1/b) = k^(1/b) ∴ k^(1/b) = 5 … ㉯
(a−2)(b−2) = 4를 전개하면 ab − 2(a+b) + 4 = 4, 즉 ab = 2(a+b)입니다.
ab > 0이므로 양변을 2ab로 나누면 1/2 = 1/a + 1/b … ㉰
㉮ × ㉯에서 k^(1/a) × k^(1/b) = k^(1/a + 1/b) = 3 × 5 = 15이고,
㉰에 의하여 k^(1/2) = 15 ∴ k = 15² = 225입니다.
45ᵃ × (1/5)^(a+b) = (3² × 5)ᵃ × 5^(−(a+b))
= 3^(2a) × 5^(a−a−b) = 3^(2a) × 5^(−b)
= (3ᵃ)² × 5^(−b) = k² × (1/k) = k = 225입니다.
∴ 45ᵃ × (1/5)^(a+b) = 225 → 정답: 225
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 3ᵃ = 5ᵇ = k로 치환하는 발상을 떠올리지 못하는 경우.
“두 지수식이 같다”는 조건이 나오면 공통값 k로 치환하는 것이 가장 강력한 전략입니다.
실수 ② (a-2)(b-2) = 4 전개 후 ab = 2(a+b)에서 1/a + 1/b로 변환하지 못하는 경우.
양변을 2ab로 나누는 조작이 핵심입니다. 이 기술은 지수·로그 문제에서 반복적으로 등장합니다.
실수 ③ 45ᵃ × (1/5)^(a+b)를 전개할 때 지수 정리에서 부호 실수.
45ᵃ = (3²×5)ᵃ = 3^(2a) × 5^a 이고, (1/5)^(a+b) = 5^(-(a+b))이므로
5의 지수는 a − (a+b) = −b가 됩니다.
💡 꿀팁 – “k 치환 → 조건 변환 → 역대입” 고난도 3단계
TOUGH 난이도 문제의 풀이 구조는 다음과 같습니다.
① 3ᵃ = 5ᵇ = k 치환 → k^(1/a) = 3, k^(1/b) = 5
② 두 번째 조건을 1/a, 1/b 관계로 변환
③ 구하는 식을 k로 표현한 뒤 ②의 결과를 대입
이 3단계는 76~82번까지의 Aˣ = Bʸ = Cᶻ 유형에서도 동일하게 적용되므로
여기서 확실히 익혀두면 이후 문제들이 훨씬 수월해집니다.