📌 60ᵃ = 5, 60ᵇ = 6인데 갑자기 12가 나온다? 당황하지 마세요!
이 문제는 2017학년도 경찰대 기출 21번으로 출제된 TOUGH 난이도의 고난도 지수 문제입니다. 60ᵃ = 5, 60ᵇ = 6이라는 조건에서 12 = 60/5 = 60^(1-a)라는 관계를 떠올리는 것이 핵심입니다. 밑 60을 기준으로 지수끼리 연산하면 복잡해 보이는 식도 깔끔하게 정리됩니다. 정답은 ② 150입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 72번 · 2017 경찰대 21번 · TOUGH)
60ᵃ = 5, 60ᵇ = 6일 때 12^((2a+b)/(1-a))의 값을 구하는 문제입니다. 12 = 60/5 = 60^(1-a)로 변환한 뒤, 지수를 정리하면 (60ᵃ)² × 60ᵇ = 5² × 6 = 150을 얻습니다. 정답은 ②입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
60ᵃ = 5, 60ᵇ = 6에서 12 = 60/5 = 60/60ᵃ = 60^(1-a)입니다.
따라서 12^((2a+b)/(1-a)) = (60^(1-a))^((2a+b)/(1-a)) = 60^(2a+b)입니다.
60^(2a+b) = 60^(2a) × 60^b = (60ᵃ)² × 60ᵇ = 5² × 6 = 150입니다.
60ᵃ = 5에서 a = log₆₀5, 60ᵇ = 6에서 b = log₆₀6입니다.
(2a+b)/(1-a) = (2log₆₀5 + log₆₀6)/(1 – log₆₀5)
= (log₆₀25 + log₆₀6)/(log₆₀(60/5))
= log₆₀150 / log₆₀12 = log₁₂150입니다.
따라서 12^((2a+b)/(1-a)) = 12^(log₁₂150) = 150입니다.
∴ 12^((2a+b)/(1-a)) = 150 → 정답: ②
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 12와 60의 관계를 파악하지 못해 멈추는 경우.
12 = 60/5라는 핵심 연결고리를 놓치면 풀이가 시작되지 않습니다. 60, 5, 6, 12의 인수 관계를 항상 생각하세요.
실수 ② 지수 (2a+b)/(1-a)를 분리할 때 계산 실수.
60^(2a+b) = (60ᵃ)² × 60ᵇ로 분리해야 합니다. 60^(2a) ≠ 60^a × 2 임에 주의하세요.
실수 ③ 로그 풀이 시 밑의 변환 공식에서 분모·분자를 뒤바꾸는 오류.
log₆₀150 / log₆₀12 = log₁₂150 (밑의 변환 공식)을 정확히 적용해야 합니다.
💡 꿀팁 – “밑이 같은 수의 곱·몫” 관계를 먼저 파악하라
이 유형에서는 주어진 밑(여기서 60)으로 구하려는 밑(12)을 어떻게 만들 수 있는지를 가장 먼저 생각해야 합니다.
① 60 = 5 × 12 → 12 = 60/5 = 60^(1-a)
② 이처럼 목표 밑 = 주어진 밑 ÷ 조건값 관계를 빠르게 세우면 복잡한 분수 지수도 한 번에 정리됩니다.
경찰대·수능 고난도에서 자주 출제되니 반드시 익혀두세요.