📌 밑이 3개(3, 7, 2)인 등식에서 18ᵃ를 먼저 구하는 핵심 변환, 꼭 익혀두세요!
이 문제는 3⁻²ᵃ × √7 = 2^(a−½) 등식을 정리하여 18ᵃ를 구한 뒤, 324ᵃ = (18²)ᵃ = (18ᵃ)²로 확장하는 최다빈출 유형입니다. 좌변과 우변을 각각 정리해서 √7/9ᵃ = 2ᵃ/√2 꼴로 바꾸면 18ᵃ = √14가 되어 풀립니다. 정답은 ② 14입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 68번 · 최다빈출 왕중요)
상수 a에 대하여 3⁻²ᵃ × √7 = 2^(a−½)일 때, 324ᵃ의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 ② 14입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
3⁻²ᵃ × √7 = 2^(a−½)에서 정리하면
√7 / 9ᵃ = 2ᵃ / √2 → √7 / 9ᵃ = 2ᵃ / √2
양변을 정리하면 √7 × √2 = 9ᵃ × 2ᵃ = (9 × 2)ᵃ = 18ᵃ
∴ 18ᵃ = √14
324 = 18²이므로 324ᵃ = (18²)ᵃ = (18ᵃ)²
= (√14)² = 14
3⁻²ᵃ × √7 = 2^(a−½)의 양변을 제곱하면
(3⁻²ᵃ × √7)² = (2^(a−½))², 3⁻⁴ᵃ × 7 = 2^(2a−1)
∴ 3⁻⁴ᵃ × 7 = 4ᵃ × 2⁻¹
양변에 2 × 3⁴ᵃ를 곱하면 14 = 4ᵃ × 3⁴ᵃ = (4 × 81)ᵃ = 324ᵃ
따라서 324ᵃ = 14
∴ 정답: ② 14
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 3⁻²ᵃ를 1/9ᵃ로 바꾸지 못하거나, 2^(a−½)를 2ᵃ/√2로 분리하지 못하는 경우.
지수법칙 aᵐ⁻ⁿ = aᵐ/aⁿ을 정확히 적용하세요.
실수 ② 324의 소인수분해를 놓치는 경우.
324 = 4 × 81 = 2² × 3⁴ = 18²임을 알아야 18ᵃ와 연결됩니다.
💡 꿀팁 – 구하는 수를 먼저 소인수분해하라!
이 유형의 핵심은 구하는 값(324ᵃ)을 먼저 소인수분해하여 어떤 중간값이 필요한지 역으로 파악하는 것입니다.
324 = 18² → 18ᵃ를 구하면 된다! → 주어진 등식에서 9ᵃ × 2ᵃ = 18ᵃ 꼴로 정리
이처럼 “답 → 중간값 → 조건 정리” 순서로 거꾸로 생각하면 풀이 방향이 명확해집니다.