📌 5²ˣ−5ˣ⁺¹ = −1을 어떻게 5ˣ+5⁻ˣ 꼴로 바꿀 수 있을까요?
이 문제는 양변을 5ˣ로 나누어 조건식을 5ˣ+5⁻ˣ 꼴로 변환한 뒤, 제곱·세제곱 전개를 적용하는 최다빈출 왕중요 TOUGH 유형입니다. 5²ˣ−5·5ˣ = −1의 양변을 5ˣ로 나누면 5ˣ−5 = −5⁻ˣ, 즉 5ˣ+5⁻ˣ = 5. 이후 제곱하면 5²ˣ+5⁻²ˣ = 23, 세제곱하면 5³ˣ+5⁻³ˣ = 110. 따라서 (110−5)/(23−2) = 105/21 = 5. 정답은 5입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 56번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH)
5²ˣ−5ˣ⁺¹ = −1일 때, (5³ˣ+5⁻³ˣ−5)/(5²ˣ+5⁻²ˣ−2)의 값을 구하는 문제입니다. 조건식을 5ˣ로 나누어 5ˣ+5⁻ˣ의 값을 먼저 구하고, 제곱·세제곱으로 분자·분모를 계산합니다. 정답은 5입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
5²ˣ−5ˣ⁺¹ = −1의 양변을 5ˣ로 나누면
5ˣ−5 = −5⁻ˣ
∴ 5ˣ+5⁻ˣ = 5
5ˣ+5⁻ˣ = 5의 양변을 제곱하면
(5ˣ+5⁻ˣ)² = 5²에서 5²ˣ+2+5⁻²ˣ = 25
∴ 5²ˣ+5⁻²ˣ = 23
5ˣ+5⁻ˣ = 5의 양변을 세제곱하면
(5ˣ+5⁻ˣ)³ = 5³에서 5³ˣ+3·5ˣ·5⁻ˣ(5ˣ+5⁻ˣ)+5⁻³ˣ = 125
5³ˣ+5⁻³ˣ+3×5 = 125
∴ 5³ˣ+5⁻³ˣ = 110
← 5³ˣ+5⁻³ˣ = (5ˣ+5⁻ˣ)(5²ˣ−1+5⁻²ˣ) = 5(23−1) = 110
따라서 (5³ˣ+5⁻³ˣ−5)/(5²ˣ+5⁻²ˣ−2) = (110−5)/(23−2) = 105/21 = 5
∴ 정답: 5
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 5ˣ⁺¹ = 5·5ˣ임을 놓치는 경우.
지수법칙에서 5ˣ⁺¹ = 5¹·5ˣ = 5·5ˣ입니다. 이 변환이 핵심입니다.
실수 ② 5ˣ로 나눈 뒤 정리 과정에서 부호 실수.
5ˣ−5 = −5⁻ˣ → 5ˣ+5⁻ˣ = 5. 우변의 −1/5ˣ를 이항할 때 부호를 확인하세요.
실수 ③ 세제곱 전개에서 합의 세제곱 공식 적용.
(A+B)³ = A³+3AB(A+B)+B³이고, AB = 5ˣ·5⁻ˣ = 1이므로 3AB(A+B) = 3×1×5 = 15입니다.
💡 꿀팁 – “조건식 변환 → 제곱 사다리” 2단계 전략
이 유형의 핵심 포인트:
① 조건식이 aˣ+bˣ 또는 aˣ−bˣ 꼴이 아닌 경우 → 먼저 적절한 값으로 나누어 변환
② 5²ˣ−5·5ˣ = −1 → 5ˣ로 나누면 → 5ˣ−5+5⁻ˣ = 0 → 5ˣ+5⁻ˣ = 5
③ 이후는 55번과 동일한 “제곱 → 세제곱” 사다리
즉 “조건식이 aˣ+a⁻ˣ 꼴이 아니면, 먼저 aˣ 꼴로 나눠서 변환”하는 것이 첫 번째 관문입니다.