📌 분모에 2⁻¹, 2⁻², … 이 나오면 뭘 곱해야 할지 바로 떠오르시나요?
이 문제는 분모·분자에 같은 거듭제곱을 곱해 음의 지수를 없애는 최다빈출 왕중요 유형입니다. 분모와 분자 각각에 2⁶을 곱하면 분자는 그대로 2⁶배가 되고, 분모의 2⁻¹+2⁻²+…+2⁻⁵는 2⁵+2⁴+…+2¹로 바뀌어 분자와 분모가 같은 합이 됩니다. 따라서 분자/분모 = 2⁶, 즉 n = 6입니다. 정답은 ④ 6입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 49번 · 최다빈출 왕중요)
다음 식을 만족시키는 자연수 n의 값은?
(2+2²+2³+2⁴+2⁵) / (2⁻¹+2⁻²+2⁻³+2⁻⁴+2⁻⁵) = 2ⁿ
분모·분자에 2⁶을 곱하여 음의 지수를 제거하는 것이 핵심입니다.
정답은 ④입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
(2+2²+2³+2⁴+2⁵) / (2⁻¹+2⁻²+2⁻³+2⁻⁴+2⁻⁵)의 분모, 분자에 각각 2⁶을 곱하면
분자: 2⁶(2+2²+2³+2⁴+2⁵) = 2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰+2¹¹
= 2⁶·(2+2²+2³+2⁴+2⁵)
분모: 2⁶(2⁻¹+2⁻²+2⁻³+2⁻⁴+2⁻⁵) = 2⁵+2⁴+2³+2²+2¹
= (2+2²+2³+2⁴+2⁵)
분자와 분모에서 밑줄 친 부분이 동일하므로 약분하면
= 2⁶
따라서 n = 6
∴ 정답: ④ 6
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 곱하는 거듭제곱을 잘못 선택하는 경우.
분모의 가장 작은 지수가 −5이므로 2⁵를 곱하면 될 것 같지만, 분자에도 같은 값을 곱해야 하고 분자의 가장 작은 항이 2¹이므로 분모의 음수 지수가 모두 양수가 되도록 2⁶ (= 분모 지수 절대값의 최대 + 분자 지수의 최소)을 곱하는 것이 깔끔합니다.
실수 ② 분모 2⁶×2⁻ᵏ 계산 시 지수 덧셈 실수.
2⁶×2⁻¹ = 2⁵, 2⁶×2⁻² = 2⁴, … 2⁶×2⁻⁵ = 2¹ 입니다. 지수끼리 더하는 것(6+(−k) = 6−k)을 정확히 하세요.
실수 ③ 등비급수 공식을 쓰려다 오히려 복잡해지는 경우.
이 문제는 등비급수 공식 없이, 분모·분자가 같은 합이 됨을 보이는 것만으로 충분합니다.
💡 꿀팁 – “분모·분자 동시 곱하기” 일반 공식
이 유형의 일반적인 풀이 전략을 정리하면:
① 분모에 음의 지수가 있으면 → 분모·분자에 적절한 aⁿ을 곱한다
② 곱한 후 분자와 분모가 같은 합(순서만 뒤집힌 형태)이 되는지 확인
③ 같은 합이면 약분 → 남는 것은 곱한 aⁿ 자체
결국 답은 분자 지수의 합과 분모 지수의 합 차이에서 나옵니다.
이 패턴을 알면 계산 없이도 n 값을 바로 파악할 수 있습니다.