📌 항이 21개나 되는 긴 합을 어떻게 계산할지 막막하다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 음의 지수를 양의 지수로 변환한 뒤, 대칭 쌍끼리 묶어 계산하는 학교 기출 대표 유형입니다. 핵심은 2/(2⁻ⁿ+1)의 분모·분자에 2ⁿ을 곱하면 2^(n+1)/(1+2ⁿ)으로 바뀌고, 이것과 2/(2ⁿ+1)을 더하면 정확히 2가 된다는 것입니다. n = 1~10까지 10쌍이 각각 2이고, 가운데 2/(2⁰+1) = 1이므로 전체 합은 2×10 + 1 = 21입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 48번 · 학교기출 대표유형)
2/(2⁻¹⁰+1) + 2/(2⁻⁹+1) + … + 2/(2⁰+1) + … + 2/(2⁹+1) + 2/(2¹⁰+1)의 값을 구하는 문제입니다. 음의 지수 항을 변환하여 양의 지수 항과 쌍으로 묶는 것이 핵심 전략입니다. 정답은 21입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
자연수 n에 대하여 2/(2⁻ⁿ+1)의 분모·분자에 2ⁿ을 곱하면
2/(2⁻ⁿ+1) = (2×2ⁿ)/((2⁻ⁿ+1)·2ⁿ) = 2^(n+1)/(1+2ⁿ) 이므로
2/(2⁻ⁿ+1) + 2/(2ⁿ+1) = 2^(n+1)/(1+2ⁿ) + 2/(2ⁿ+1)
= (2^(n+1) + 2)/(2ⁿ+1) = 2(2ⁿ+1)/(2ⁿ+1) = 2
STEP A에서 2/(2⁻ⁿ+1) + 2/(2ⁿ+1) = 2 이므로
n = 10: 2/(2⁻¹⁰+1) + 2/(2¹⁰+1) = 2
n = 9: 2/(2⁻⁹+1) + 2/(2⁹+1) = 2
⋮
n = 1: 2/(2⁻¹+1) + 2/(2¹+1) = 2
한편 가운데 항: 2/(2⁰+1) = 2/(1+1) = 1
따라서 구하는 식은 2+2+…+2+1 = 2×10 + 1 = 21
∴ 정답: 21
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 가운데 항 2/(2⁰+1) = 1을 빠뜨리는 경우.
지수가 −10부터 10까지이므로 0이 포함된 총 21개 항입니다. 쌍으로 묶으면 10쌍 + 가운데 1개입니다. 가운데 항을 잊으면 답이 20이 됩니다.
실수 ② 2/(2⁻ⁿ+1)의 분모에 2ⁿ을 곱할 때 분배법칙 실수.
(2⁻ⁿ+1)×2ⁿ = 2⁻ⁿ·2ⁿ + 1·2ⁿ = 1 + 2ⁿ입니다. 2⁻ⁿ·2ⁿ = 2⁰ = 1임을 확인하세요.
실수 ③ 쌍의 개수를 잘못 세는 경우.
n = 1부터 10까지 10개의 쌍이 있으므로 합은 2×10 = 20이고, 여기에 가운데 1을 더해야 합니다.
💡 꿀팁 – “대칭 쌍 합산” 유형 빠른 판별법
이 유형을 빠르게 풀려면 다음 패턴을 기억하세요.
① 합의 범위가 −n부터 +n까지 대칭인지 확인
② 일반항 f(k)에서 f(−k) + f(k)를 계산해 상수가 되는지 확인
③ 상수가 된다면: (상수) × (쌍의 개수) + f(0)
이 문제의 경우 f(k) = 2/(2ᵏ+1)이고, f(−k)+f(k) = 2, 쌍은 10개, f(0) = 1이므로 21입니다.
시험에서 이 구조가 보이면 일반항 쌍 합산만 확인하고 바로 답을 쓸 수 있습니다.