📌 a, b, c를 유리수 지수로 바꾸면 k의 범위를 정확히 결정할 수 있습니다!
이 문제는 거듭제곱근 대소비교 × 자연수 k 개수 결합 TOUGH 유형으로, 최다빈출 왕중요 마크가 붙은 핵심 문제입니다. a = 5의 네제곱근 중 양의 실수 = ⁴√5 = 5^(1/4), b = k의 여섯제곱근 중 양의 실수 = ⁶√k = k^(1/6), c = 9의 세제곱근 중 실수 = ∛9 = 9^(1/3)으로 변환합니다. a < b < c 조건에서 k의 범위를 정하고, 그 안의 자연수 개수를 구하면 됩니다. 정답은 해설 이미지·영상에서 확인하세요.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 44번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH · 내신연계문제)
5의 네제곱근 중 양의 실수인 것을 a,
k의 여섯제곱근 중 양의 실수인 것을 b,
9의 세제곱근 중 실수인 것을 c라 하자.
a < b < c가 성립하도록 하는 자연수 k의 개수를 구하시오.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
a = ⁴√5 = 5^(1/4)
b = ⁶√k = k^(1/6)
c = ∛9 = 9^(1/3) = (3²)^(1/3) = 3^(2/3)
a¹² = (5^(1/4))¹² = 5³ = 125
b¹² = (k^(1/6))¹² = k²
c¹² = (3^(2/3))¹² = 3⁸ = 6561
a¹² < b¹² < c¹²
125 < k² < 6561
√125 < k < √6561
5√5 < k < 81
5√5 ≈ 11.18 이므로 12 ≤ k ≤ 80
자연수 k의 개수 = 80 − 12 + 1 = 69
∴ 자연수 k의 개수 = 69 (정확한 정답은 해설 이미지·영상 확인)
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① c = ∛9 = ∛(3²) = 3^(2/3)으로 변환할 때 지수 처리를 빠트리는 경우.
9 = 3²이므로 지수는 2/3이지 1/3이 아닙니다.
실수 ② 12제곱 변환 후 b¹² = k²에서 k²의 범위를 k로 변환할 때 양쪽 모두 양의 제곱근을 취해야 하는데 부등호 방향을 실수하는 경우.
실수 ③ √125 = 5√5 ≈ 11.18에서 k의 최솟값을 11로 잘못 잡는 경우.
11² = 121 < 125이므로 k=11은 조건 불만족. 반드시 12부터 시작해야 합니다.
💡 꿀팁 – “대소비교 + k 개수” 복합 문제 전략
① a, b, c를 유리수 지수로 변환한다.
② 분모의 LCM을 구해 모두 같은 n제곱으로 통일한다.
③ n제곱한 부등식 A < k^m < C에서 k의 범위를 구한다.
④ 경계값 포함 여부를 부등호(등호 유무)로 체크한 뒤 자연수 개수를 센다 (상한 − 하한 + 1).
이 4단계를 연습하면 유사 유형 모두 빠르게 해결됩니다.