📌 ⁿ⁺¹√8이 “어떤 자연수의 네제곱근”이 된다는 조건, 정확히 어떻게 해석해야 할까요?
이 문제는 2024년 06월 고2 학평 26번으로 출제된 실전 기출 유형입니다. ⁿ⁺¹√8을 유리수 지수로 변환한 뒤, 이 값이 어떤 자연수 M의 네제곱근이 된다는 조건에서 n의 조건을 도출하면 됩니다. 8 = 2³이므로 ⁿ⁺¹√8 = 2^(3/(n+1))으로 변환하는 것이 핵심 포인트입니다. 조건을 만족하는 모든 자연수 n의 합을 구하면 됩니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 38번 · NORMAL · 2024.06 고2학평 26번)
자연수 n에 대하여 ⁿ⁺¹√8이 어떤 자연수의 네제곱근이 되도록 하는
모든 n의 값의 합을 구하시오.
※ 정답 및 정확한 풀이는 아래 해설 이미지·영상에서 확인하세요.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
ⁿ⁺¹√8 = 8^(1/(n+1)) = (2³)^(1/(n+1)) = 2^(3/(n+1))
이 값을 x로 놓겠습니다.
x가 어떤 자연수 M의 네제곱근 → x^4 = M이 자연수.
(2^(3/(n+1)))^4 = 2^(12/(n+1)) ∈ ℕ
→ 12/(n+1)이 음이 아닌 정수 → (n+1)이 12의 약수.
n+1의 약수(= 12의 약수): 1, 2, 3, 4, 6, 12
→ n = 0, 1, 2, 3, 5, 11
n은 자연수(n ≥ 1)이므로 n = 1, 2, 3, 5, 11
모든 n의 합 = 1 + 2 + 3 + 5 + 11 = 22
∴ 모든 자연수 n의 합 = 22
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “네제곱근이 된다”를 x = ⁴√M이 아닌 x = M^4으로 해석하는 경우.
x가 M의 네제곱근이란 x^4 = M을 의미합니다.
실수 ② n이 자연수임을 간과하고 n=0을 합산에 포함하는 경우. 한국 수학 교육과정에서 자연수는 1 이상입니다.
실수 ③ 12의 약수를 빠트리는 경우. 12 = 2²×3이므로 약수는 1,2,3,4,6,12로 총 6개입니다.
💡 꿀팁 – “어떤 자연수의 k제곱근” 조건 빠른 처리법
① 주어진 값을 p^(a/b) 꼴로 정리한다.
② k제곱근이 되는 조건 → (p^(a/b))^k = p^(ak/b) ∈ ℕ → b | ak.
③ gcd(a, b)를 확인하여 b/gcd(a,b) | k 조건으로 단순화한다.
이 프레임으로 접근하면 유사 유형 모두를 빠르게 처리할 수 있습니다.