📌 (³√3⁵)^(1/2)가 ‘어떤 자연수의 n제곱근’이 된다는 조건, 핵심이 뭘까요?
이 문제는 주어진 값을 3의 거듭제곱 꼴로 정리한 뒤, “n제곱근” 조건에서 n이 어떤 값이어야 전체 식이 자연수가 되는지 분석합니다. (³√3⁵)^(1/2) = 3^(5/6)이며, 이 값이 어떤 자연수 M의 n제곱근이 되려면 3^(5n/6) ∈ ℕ이어야 하므로 6의 배수인 n을 찾으면 됩니다. 2 ≤ n ≤ 100 범위에서 해당하는 n의 개수는 16입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 37번 · TOUGH · 내신연계문제)
2 ≤ n ≤ 100인 자연수 n에 대하여
(³√3⁵)^(1/2)이 어떤 자연수의 n제곱근이 되도록 하는 n의 개수를 구하시오.
정답: 16
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
(³√3⁵)^(1/2) = (3^(5/3))^(1/2) = 3^(5/6)
이 값을 x = 3^(5/6) 으로 놓겠습니다.
x가 자연수 M의 n제곱근이 된다 → x = ⁿ√M → x^n = M
(3^(5/6))^n = 3^(5n/6) = M이 자연수여야 합니다.
3^(5n/6) ∈ ℕ 이 되려면 5n/6이 양의 정수여야 합니다.
gcd(5, 6) = 1 이므로 6 | n, 즉 n은 6의 배수.
2 ≤ n ≤ 100에서 6의 배수: n = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96
개수 = 96 ÷ 6 = 16개
∴ 조건을 만족하는 자연수 n의 개수 = 16
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “n제곱근이 된다”를 “n제곱하면 자연수”로 해석하지 않고 역방향으로 읽는 경우.
x가 M의 n제곱근이면 x^n = M입니다. 반드시 이 방향으로 적용하세요.
실수 ② gcd(5, 6) = 1임을 확인하지 않고 5n/6이 정수가 되는 조건을 30|n 등으로 잘못 설정하는 경우.
분자 5와 분모 6이 서로소이므로 6|n만 필요합니다.
실수 ③ 범위를 2≤n≤100으로 처리할 때 n=6부터 시작함을 놓쳐 n=0이나 n=1을 포함하거나,
n=96 이후 n=102를 포함하는 실수를 범하는 경우.
💡 꿀팁 – “n제곱근 조건” 문제 풀이 프레임
① 주어진 식을 p^(a/b) 꼴(기약분수 a/b)로 정리한다.
② “자연수 M의 n제곱근” 조건을 x^n = M으로 변환 → p^(an/b) ∈ ℕ이 되는 조건을 찾는다.
③ gcd(a, b)를 확인한 뒤 b | n 여부를 결정한다.
④ 주어진 n의 범위 안에서 배수의 개수를 센다 (= ⌊상한 ÷ b⌋).
이 4단계 프레임을 적용하면 유사 유형 모두를 빠르게 처리할 수 있습니다.