📌 a를 3의 5제곱근, b를 3의 6제곱근이라 했는데 식이 왜 이렇게 복잡해질까요?
이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환한 뒤, 지수법칙을 활용해 조건을 정리하는 유형입니다. a = 3의 실수인 5제곱근, b = 3의 양의 6제곱근 조건을 지수 형태로 바꾸면 (⁵√ab²)ⁿ이 자연수가 되는 조건을 깔끔하게 분석할 수 있습니다. 두 자리 자연수 n의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 것이 목표이며, 정답은 ④ 105입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 34번 · NORMAL)
a는 3의 실수인 5제곱근이고 b는 3의 양의 6제곱근일 때,
(⁵√ab²)ⁿ이 자연수가 되는 두 자리 자연수 n의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.
① 60 ② 85 ③ 95 ④ 105 ⑤ 110
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
a는 3의 실수인 5제곱근 → a⁵ = 3 → a = 3^(1/5)
b는 3의 양의 6제곱근 → b⁶ = 3, b > 0 → b = 3^(1/6)
ab² = 3^(1/5) × (3^(1/6))² = 3^(1/5) × 3^(1/3) = 3^(3/15 + 5/15) = 3^(8/15)
⁵√(ab²) = (3^(8/15))^(1/5) = 3^(8/75)
(⁵√(ab²))^n = 3^(8n/75)
3^(8n/75) ∈ ℕ이 되려면 8n/75가 양의 정수여야 합니다.
gcd(8, 75) = 1이므로 75 | n, 즉 n은 75의 배수이어야 합니다.
두 자리 자연수 범위(10 ≤ n ≤ 99)에서 75의 배수: n = 15, 30, …, 90
최솟값 min = 15, 최댓값 max = 90
합 = 15 + 90 = 105
∴ 두 자리 자연수 n의 최댓값 + 최솟값 = 105 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a와 b를 직접 수로 대입하려는 경우. a, b는 무리수이므로 반드시 지수 표현으로 바꿔야 합니다.
실수 ② ab²를 계산할 때 분모 통분을 빠트리는 경우. 1/5와 1/3의 LCM은 15이므로 3/15 + 5/15 = 8/15로 정확히 처리하세요.
실수 ③ gcd(8, 75) = 1임을 놓쳐 75의 배수 조건을 잘못 적용하는 경우. 75 = 3 × 5², 8 = 2³으로 공약수가 없음을 반드시 확인하세요.
💡 꿀팁 – 거듭제곱근 → 지수 변환 3단계
① 주어진 거듭제곱근 조건을 먼저 유리수 지수 형태로 바꾼다 (a = p^(1/n)).
② 식 전체를 지수법칙으로 정리해 3^(분수×n) 꼴로 만든다.
③ 분수의 분모를 기준으로 gcd를 확인한 뒤 n의 배수 조건을 결정한다.
이 3단계 루틴을 몸에 익히면 이 유형의 문제를 1분 안에 셋업할 수 있습니다.