📌 a, b, c 각각을 분수 지수로 바꾼 뒤 LCM을 구하는 단계를 놓쳤다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 a³=3, b⁴=5, c⁶=7에서 a, b, c를 각각 유리수 지수로 표현한 뒤, (abc)ⁿ이 자연수가 되도록 하는 n의 최솟값을 구하는 최다빈출 왕중요 문제입니다. 핵심은 각 소수의 지수 분모들의 최소공배수(LCM)를 구하는 것이며, 정답은 12입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 33번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL · 주관식)
세 양수 a, b, c에 대하여 a³=3, b⁴=5, c⁶=7일 때, (abc)ⁿ이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값을 구하는 주관식 문제입니다. 각각을 유리수 지수로 변환하고 (abc)ⁿ = 3^(n/3) × 5^(n/4) × 7^(n/6)으로 정리한 뒤 세 지수가 모두 자연수가 되는 최소 n을 찾습니다. 정답은 12입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – STEP A·B: 유리수 지수 변환 → LCM 계산
a³ = 3 → a = 3^(1/3)
b⁴ = 5 → b = 5^(1/4)
c⁶ = 7 → c = 7^(1/6)
(abc)ⁿ = (3^(1/3) × 5^(1/4) × 7^(1/6))ⁿ
= 3^(n/3) × 5^(n/4) × 7^(n/6)
(abc)ⁿ이 자연수가 되려면 3, 5, 7의 지수가 모두 자연수여야 합니다:
n/3 ∈ ℕ → n은 3의 배수
n/4 ∈ ℕ → n은 4의 배수
n/6 ∈ ℕ → n은 6의 배수
n은 3, 4, 6의 공배수여야 하므로 최솟값은
lcm(3, 4, 6) = 12
∴ 자연수 n의 최솟값 = 12
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a³ = 3에서 a = 3/3 = 1로 잘못 계산하는 오류.
a³ = 3이면 a = 3^(1/3)임을 명확히 구분하세요.
실수 ② n의 조건을 세 가지 모두 챙기지 않고 하나만 체크하는 경우.
3, 4, 6 세 분모 조건을 각각 따로 써놓고 LCM을 구하는 습관이 필요합니다.
실수 ③ lcm(3, 4, 6)을 3×4×6 = 72로 잘못 계산하는 실수.
공통 인수를 고려한 정확한 LCM은 12임을 확인하세요.
(3 = 3, 4 = 2², 6 = 2×3 → lcm = 2²×3 = 12)
💡 꿀팁 – “(abc)ⁿ 자연수” 유형 완전 정복
이 유형의 황금 루틴:
① 각 변수를 유리수 지수 표현 (aᵖ = q → a = q^(1/p))
② (abc)ⁿ = (각 소인수)^(n/분모) 꼴로 전개
③ 각 분모(p₁, p₂, …)를 나열
④ lcm(p₁, p₂, …)이 n의 최솟값
이 루틴을 외워두면 변형 문제(3개 이상 변수, 다른 소수)에도 그대로 적용할 수 있습니다.