📌 분자와 분모의 지수를 한꺼번에 처리하려다 틀렸다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 분자·분모를 각각 유리수 지수로 변환한 뒤 나눗셈(빼기)으로 전체 지수를 구하고 0으로 놓는 최다빈출 왕중요 문제입니다. 분자의 세 인수를 한꺼번에 묶어서 처리하는 것이 핵심 기술이며, 정답은 ⑤ k = 21/2입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 29번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL)
a > 1일 때, ³√(a × √a × ⁴√a³) ÷ ⁶√(a × ³√aᵏ) = 1 을 만족시키는 실수 k의 값을 구하는 문제입니다. 분자와 분모를 각각 a의 거듭제곱으로 정리한 뒤 지수끼리 방정식을 세우는 것이 핵심입니다. 정답은 ⑤ k = 21/2입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – STEP A: 분자·분모 각각 지수 변환 후 방정식 풀기
안쪽 지수 합산: 1 + 1/2 + 3/4 = 4/4 + 2/4 + 3/4 = 9/4
³√(a^(9/4)) = (a^(9/4))^(1/3) = a^(3/4)
³√aᵏ = a^(k/3) 이므로 a × a^(k/3) = a^(1 + k/3) = a^((3+k)/3)
⁶√(a^((3+k)/3)) = a^((3+k)/18)
a^(3/4) ÷ a^((3+k)/18) = a^(3/4 − (3+k)/18) = a⁰ = 1
→ 3/4 − (3+k)/18 = 0
27 − 2(3+k) = 0 → 27 − 6 − 2k = 0 → 21 = 2k → k = 21/2
∴ k = 21/2 → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 분자의 지수 합산에서 ⁴√a³ = a^(3/4)를 a^(4/3)으로 뒤집는 오류.
지수는 “지수 ÷ 차수” = 3/4임을 확인하세요.
실수 ② 분모의 ³√aᵏ을 aᵏ/3가 아닌 a^(3k)으로 잘못 계산하는 경우.
³√aᵏ = (aᵏ)^(1/3) = a^(k/3)입니다.
실수 ③ 전체가 1이므로 지수 = 0으로 설정해야 하는데 지수 = 1로 놓는 실수.
a > 1이면 aˣ = 1 ⟺ x = 0입니다.
💡 꿀팁 – 분자÷분모=1 유형 빠른 전략
“= 1 (또는 = aⁿ)” 형태의 문제는:
① 분자·분모를 모두 aᵐ 꼴로 변환
② 지수끼리 빼기 → 전체 지수 확보
③ 지수 = 0으로 놓고 k 방정식 풀기
이 틀을 외워두면 유사 변형 문제에서 빠르게 대응할 수 있습니다.