📌 ³√(a√a)를 계산할 때 √a를 a^(1/2)로 바꾸지 않고 막혔다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하는 핵심 스킬을 묻는 학교기출 대표유형입니다. 많은 학생이 이중 거듭제곱근 앞에서 멈추는데, 안쪽 근호부터 차례로 지수로 바꾸면 덧셈 한 번으로 끝납니다. 풀이 핵심은 각 인수를 분리해 지수끼리 더하기이며, 정답은 ⑤ k = 5/6입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 27번 · 학교기출 대표유형)
a > 0, a ≠ 1일 때, ³√(a√a) × ⁴√(a·³√a) = aᵏ 을 만족하는 실수 k의 값을 구하는 문제입니다. 이중 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환한 뒤 지수법칙으로 정리하는 것이 핵심입니다. 정답은 ⑤ k = 5/6입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – STEP A: 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환
³√(a·√a) = ³√a · ⁶√a = a^(1/3) · a^(1/6) = a^(2/6 + 1/6) = a^(1/2)
⁴√(a·³√a) = ⁴√a · ¹²√a = a^(1/4) · a^(1/12) = a^(3/12 + 1/12) = a^(1/3)
a^(1/2) × a^(1/3) = a^(1/2 + 1/3) = a^(3/6 + 2/6) = a^(5/6)
∴ k = 5/6 → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “³√(a√a) = a^(1/3+1/2)”처럼 지수를 덧셈하지 않고 곱하는 오류.
이중 거듭제곱근은 반드시 안쪽→바깥쪽 순서로 지수를 변환해야 합니다.
실수 ② ³√a와 ⁶√a로 분리할 때 ⁶√a의 지수를 1/3으로 잘못 쓰는 경우.
⁶√a = a^(1/6)임을 확인하세요.
실수 ③ 최종 지수 합산에서 통분 실수. 1/2 + 1/3 = 5/6이므로, 분모가 6임을 꼭 확인하세요.
💡 꿀팁 – 이중 거듭제곱근 3초 공략법
ⁿ√(aᵐ·ᵖ√aᵍ) 형태가 나오면:
① 안쪽 ᵖ√aᵍ = a^(q/p) 로 바꾸기
② 전체를 a^(…)^(1/n) 으로 정리하기
③ 지수끼리 통분해서 더하기
이 순서를 항상 지키면 이중 근호 문제는 30초 이내에 풀 수 있습니다.