📌 중첩된 거듭제곱근, 모두 같은 분모로 통일하면 단번에 풀립니다!
이 문제는 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환해 지수를 합산하는 최다빈출 유형입니다. √ 안에 ⁴√와 ⁶√이 중첩된 복잡한 구조도 모두 같은 n제곱근(¹²√ 또는 ²⁴√)으로 통일하면 지수 덧셈 한 번으로 정리됩니다. m, n이 서로소라는 조건까지 반드시 확인하세요. 정답은 mn = 6입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 17번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL)
a > 1일 때, √(a × ⁴√(a × ⁶√a)) = ⁿ√aᵐ을 만족하는 자연수 m, n에 대하여 mn의 값을 구하는 문제입니다. (단, m, n은 서로소) 중첩된 거듭제곱근을 안쪽부터 순서대로 유리수 지수로 변환하는 것이 핵심입니다. 정답은 6입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
√(a × ⁴√(a × ⁶√a))
= √a × ⁸√a × ²⁴√a ← 안에서부터 풀어서 각 항을 분리
= ²⁴√(a¹²) × ²⁴√(a³) × ²⁴√(a¹) ← 분모를 24로 통일
= ²⁴√(a¹²⁺³⁺¹)
= ²⁴√(a¹⁶)
= ³√(a²) ← 지수와 근호를 약분 (16/24 = 2/3)
²⁴√(a¹⁶) = ⁿ√(aᵐ) 이므로 m=16, n=24는 gcd(16,24)=8 → 서로소 아님.
약분하면: m = 16÷8 = 2, n = 24÷8 = 3 → gcd(2,3) = 1 ✓ (서로소)
따라서 m = 2, n = 3, mn = 2 × 3 = 6
∴ mn = 6
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 중첩된 근호를 풀 때 바깥 √를 먼저 처리하는 오류.
항상 안쪽 거듭제곱근부터 순서대로 지수로 변환해야 정확합니다.
실수 ② ²⁴√(a¹⁶) = a^(16/24)에서 16/24를 약분하지 않고 m=16, n=24로 답하는 경우.
문제 조건 “m, n은 서로소“를 반드시 확인하고 기약분수 형태로 쓰세요.
실수 ③ √a = a^(1/2)를 ²⁴√로 변환할 때 ²⁴√(a¹²) 이 아닌 ²⁴√(a²)으로 계산하는 오류.
분모를 통일할 때 분자도 같은 배수로 곱해야 합니다 (1/2 = 12/24).
💡 꿀팁 – 중첩 근호 처리 3단계 공식
① 모든 거듭제곱근을 a의 유리수 지수로 변환 (ⁿ√aᵐ = a^(m/n)).
② 지수의 분모를 LCM(최소공배수)으로 통일하여 분자끼리 덧셈.
③ 결과 지수를 기약분수로 약분한 뒤 m, n을 읽어내면 끝.
이 3단계를 습관화하면 ²⁴√, ⁴⁸√ 등 어떤 복잡한 중첩 구조도 기계적으로 처리할 수 있습니다.