📌 f(n)=2g(n)이라는 조건, 두 이차식을 동시에 분석해야 합니다. 하나만 보면 절반은 틀립니다!
이 문제는 2024년 09월 고2 학력평가 14번 기출로, 마플시너지 대수 12번에 수록된 수능형 최상위 문제입니다. 두 이차식 n²+1과 n²−8n+12를 각각 n제곱근 실수 개수로 변환한 뒤, f(n) = 2g(n)이라는 연립 조건을 만족하는 n의 합을 구하는 문제입니다. n²+1은 항상 양수, n²−8n+12의 부호가 핵심 분기점입니다. 정답은 ③ 8입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 12번 · 2024.09 고2학평 14번)
2 ≤ n ≤ 10인 자연수 n에 대하여
· f(n): n²+1의 n제곱근 중 실수인 것의 개수
· g(n): n²−8n+12의 n제곱근 중 실수인 것의 개수
f(n) = 2g(n)을 만족시키는 모든 자연수 n의 값의 합을 구하는 문제입니다.
정답은 ③ 8입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
2 ≤ n ≤ 10에서 n²+1 ≥ 5 > 0으로 항상 양수입니다.
· n이 홀수이면 f(n) = 1 (n=3, 5, 7, 9)
· n이 짝수이면 양수의 짝수 제곱근이 두 개이므로 f(n) = 2 (n=2, 4, 6, 8, 10)
n²−8n+12 = (n−2)(n−6)
부호 분석: (n−2)(n−6) > 0 ⟺ n < 2 또는 n > 6 / = 0 ⟺ n=2 또는 n=6 / < 0 ⟺ 2 < n < 6
· n=2: 값=0 → n홀짝무관 g(2) = 1 (but n=2는 짝수, 값=0 → 근은 0만 → 1개)
· n=3(홀): (3−2)(3−6) = 1×(−3) = −3 < 0 → g(3) = 1 (홀수이므로 항상 실수근 1개)
· n=4(짝): (4−2)(4−6) = 2×(−2) = −4 < 0 → g(4) = 0
· n=5(홀): (5−2)(5−6) = 3×(−1) = −3 < 0 → g(5) = 1
· n=6(짝): 값=0 → g(6) = 1
· n=7(홀): (7−2)(7−6) = 5×1 = 5 > 0 → g(7) = 1
· n=8(짝): (8−2)(8−6) = 6×2 = 12 > 0 → g(8) = 2
· n=9(홀): (9−2)(9−6) = 7×3 = 21 > 0 → g(9) = 1
· n=10(짝): (10−2)(10−6) = 8×4 = 32 > 0 → g(10) = 2
| n | f(n) | g(n) | 2g(n) | f(n)=2g(n)? |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 2 | ✔ 해당 |
| 3 | 1 | 1 | 2 | ✘ |
| 4 | 2 | 0 | 0 | ✘ |
| 5 | 1 | 1 | 2 | ✘ |
| 6 | 2 | 1 | 2 | ✔ 해당 |
| 7 | 1 | 1 | 2 | ✘ |
| 8 | 2 | 2 | 4 | ✘ |
| 9 | 1 | 1 | 2 | ✘ |
| 10 | 2 | 2 | 4 | ✘ |
f(n) = 2g(n)을 만족하는 n: 2, 6
조건을 만족하는 모든 자연수 n의 합 = 2 + 6 = 8
∴ f(n) = 2g(n)을 만족하는 모든 자연수 n의 합 = 8 → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① n²+1도 경우에 따라 부호가 달라진다고 착각하는 경우.
n이 2 이상의 자연수이면 n²+1 ≥ 5로 항상 양수입니다. 따라서 f(n)은 홀짝으로만 결정됩니다.
실수 ② n=2일 때 n²−8n+12 = 4−16+12 = 0이라는 계산을 놓치는 경우.
값이 0이면 짝수 제곱근도 0뿐(실수근 1개)임을 기억하세요.
실수 ③ f(n)=2g(n)에서 좌변과 우변을 잘못 대조하는 경우.
반드시 f와 g를 먼저 각각 표로 정리한 후 비교하세요. 조건이 복잡할수록 표 작성이 실수를 줄입니다.
💡 꿀팁 – 두 이차식 동시 분석 전략
① f(n)처럼 항상 일정한 방향으로 변하는 함수를 먼저 정리합니다. (n²+1은 항상 양수 → 홀짝만 판단)
② g(n)처럼 이차식의 부호가 바뀌는 함수는 인수분해 후 부호표로 구간별 정리가 핵심입니다.
③ f(n) = 2g(n)은 (f, g) = (2, 1) 또는 (0, 0) 등 가능한 정수 쌍을 먼저 나열하면 빠르게 필터링됩니다.
④ 결과를 표로 한눈에 정리하는 습관이 이 유형에서는 절대적으로 유리합니다.