📌 k가 변하면 f(4)+f(6)의 합도 달라집니다. k값에 따라 케이스를 나눠 분석해야 정답이 보입니다!
이 문제는 2025학년도 사관기출 12번으로, 마플시너지 대수 11번에 수록된 최상위 난도 문제입니다. k라는 미지의 자연수가 있을 때 f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = 7을 만족하는 모든 자연수 k의 합을 구합니다. n이 홀수인 경우는 자동으로 f=1이므로 핵심은 f(4)+f(6) = 4가 되게 하는 k의 범위를 찾는 것입니다. 정답은 ② 15입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 11번 · 2025학년도 사관기출 12번)
2 이상의 자연수 n에 대하여 −(n−k)²+8의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 f(n)이라 하자.
f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = 7을 만족시키는 모든 자연수 k의 값의 합을 구하는 문제입니다.
정답은 ② 15입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
n이 홀수이면 −(n−k)²+8의 부호에 관계없이 실수인 n제곱근이 항상 1개 존재합니다.
→ f(3) = f(5) = f(7) = 1
따라서 f(3)+f(5)+f(7) = 3이므로, 조건 f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7) = 7에서
f(4)+f(6) = 4 이어야 합니다.
n이 짝수이고 −(n−k)²+8 > 0이면 f(n) = 2, = 0이면 f(n) = 1, < 0이면 f(n) = 0입니다.
f(4)+f(6) = 4가 되려면 f(4) = 2이고 f(6) = 2 이어야 합니다.
f(4) = 2 조건: −(4−k)²+8 > 0 → (4−k)² < 8 → 4−2√2 < k < 4+2√2
∴ 자연수 k의 범위: 2, 3, 4, 5, 6 … ①
f(6) = 2 조건: −(6−k)²+8 > 0 → (6−k)² < 8 → 6−2√2 < k < 6+2√2
∴ 자연수 k의 범위: 4, 5, 6, 7, 8 … ②
①과 ②의 공통 자연수 k: k = 4, 5, 6
따라서 모든 자연수 k의 합 = 4 + 5 + 6 = 15
∴ 조건을 만족하는 모든 자연수 k의 합 = 15 → 정답: ②
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① f(4)+f(6) = 4의 케이스를 f(4)=2, f(6)=2로만 생각하는 오류.
실제로 f(n)은 0, 1, 2만 가능하므로 4를 만드는 방법은 (2,2)뿐입니다. 이 경우는 맞지만, 반드시 케이스 검토를 명시해야 합니다.
실수 ② √8 = 2√2 ≈ 2.83임을 잊고 자연수 범위를 잘못 설정하는 경우.
4−2√2 ≈ 1.17, 4+2√2 ≈ 6.83이므로 자연수 k는 2, 3, 4, 5, 6 임을 확인하세요.
실수 ③ f(4)=2이고 f(6)=2인 공통 범위가 아니라 합집합으로 계산하는 경우.
두 조건을 동시에 만족해야 하므로 교집합(AND)으로 처리해야 합니다.
💡 꿀팁 – 미지의 k가 포함된 n제곱근 유형 전략
① 먼저 홀수 n에서 f(n) = 1임을 이용해 합 조건에서 짝수 n의 f 합을 먼저 결정하세요.
② 짝수 n에서 f(n) = 0, 1, 2 중 무엇인지는 −(n−k)²+8의 부호로 결정합니다.
③ (n−k)² < 8 ⟺ |n−k| < 2√2 ⟺ n−2√2 < k < n+2√2로 변환한 뒤 자연수 범위를 정수 구간으로 정리하세요.
④ 여러 n에 대한 조건의 교집합을 구하면 답이 나옵니다. 수직선에 표시하면 실수가 줄어듭니다.