📌 이 단원, 수능에서 왜 중요한가
평면좌표 단원의 ‘내분점’은 그 자체로 단독 출제되기보다, 이후 배우는 직선·원의 방정식, 도형의 닮음, 무게중심·외심, (기하의) 벡터 등으로 확장될 때 ‘도형을 좌표·비율로 바꿔 다루는 가장 기초적인 도구’가 됩니다. 즉 내분점을 자유롭게 비율식으로 정리하지 못하면, 상위 단원의 결합형 문제에서 계산이 막히는 병목이 생깁니다. 수능 고득점의 관점에서는 “길이의 비를 식으로 환산하는 감각”을 초반에 확실히 잡아두는 것이 핵심입니다.
이 유형(수직선 위의 선분의 내분점)은 보통 다음과 같은 형태로 변형 출제됩니다.
- 같은 선분을 서로 다른 두 비율로 내분한 뒤, 두 내분점 사이 거리를 원래 선분에 대한 비로 묻는 유형
- 내분점 좌표 공식과 비례식·기약분수(서로소) 조건을 엮어 정수해를 구하게 하는 유형
- 삼각형의 무게중심(중선을 2:1 내분)·닮음비 등 상위 개념의 ‘디딤돌’로 등장하는 유형
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
이 문제의 출제의도는 “하나의 선분을 두 가지 비율로 내분했을 때, 두 내분점의 위치를 모두 같은 기준(선분 AB)에 대한 비율로 통일해 표현할 수 있는가”를 확인하는 데 있습니다.
핵심 맥락은 다음 두 갈래로 정리됩니다.
- 비율 통일법 — 각 내분점이 만드는 부분 길이를 모두 ‘AB의 분수’로 바꾼 뒤, 두 점 사이의 길이를 AB − (양 끝 부분의 합)으로 계산합니다.
- 문자 치환법(미니해설) — 가장 작은 부분을 한 문자로 두고 전체 길이를 그 문자로 환산하면, 비율이 자동으로 약분되어 같은 결과가 나옵니다.
마지막에는 결과를 기약분수로 정리하여 서로소인 자연수 조건을 만족시키는 것이 실수 방지의 포인트입니다. (분자·분모를 약분하지 않으면 답이 달라집니다.)
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 키워드
아래 개념이 흔들리면 이 문제의 비율 환산이 막힙니다. 클릭해 먼저 점검하세요.
- 👉 수직선 위의 내분점 공식 — m:n 내분점 좌표 유도와 적용 · (내분점 위치를 비율로 표현하는 출발점)
- 👉 내분점을 이용한 선분 길이 비 계산 · (부분 길이를 AB의 분수로 통일하는 방법)
※ 더하여 비례식·기약분수(서로소) 정리 감각이 함께 필요합니다.
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