평면좌표 · 수직선 위의 선분의 내분점 — 수능 고득점 출발점
평면좌표 단원은 도형을 좌표로 바꿔 계산하는 해석기하의 기초 언어입니다. 수능에서 직접 1문항으로 나오기보다, 원의 방정식·직선의 방정식·도형의 이동 같은 뒤 단원과 결합해 “좌표를 세워 푸는 문제”의 밑바탕으로 작동합니다. 이때 내분점·중점 공식을 머릿속에서 즉시 꺼내 쓰지 못하면 정작 어려운 단계가 아니라 계산 세팅 단계에서 시간을 흘리게 됩니다.
특히 수직선 위의 내분점 유형은 이후 좌표평면에서의 내분점(x, y 각각 적용), 삼각형의 무게중심, 일정한 비를 만족하는 점의 자취로 확장됩니다. 즉 이 유형은 “한 방향(수직선)에서 공식을 정확히 다루는 연습”이며, 여기서 비의 순서(m : n에서 누가 b에 곱해지는가)를 헷갈리지 않는 습관을 잡아두는 것이 고득점의 첫 단추입니다.
출제의도 & 풀이 핵심맥락
출제의도 — 내분 비율이 3 : 2와 2 : 3처럼 “뒤집힌 두 비”로 주어졌을 때, 각 내분점을 정확히 구분해 구하고 그 두 점의 중점까지 한 번에 처리할 수 있는지를 묻습니다. 비의 순서를 바꿔 적용하는 실수를 유도하는, 시험에서 자주 보이는 함정형 기본 문항입니다.
핵심맥락
- 두 점 A(a), B(b)를 m : n으로 내분하는 점의 좌표는 (m·b + n·a) / (m + n). → 분자에서 b에 곱하는 수가 앞 비(m)임을 고정한다.
- 3 : 2 내분점 P와 2 : 3 내분점 Q를 각각 따로 계산한다. (비를 뒤집으면 결과가 달라짐)
- 마지막으로 두 점 P, Q의 중점 (P + Q) / 2를 구한다.
세 단계 모두 “공식 대입”이므로, 관건은 속도와 무실수입니다.
풀이에 필요한 핵심 키워드
이 유형은 단원 내 기초 공식 위에서 풀리며, 바깥 단원에서 끌어와야 하는 선수 개념은 중학 과정의 비례(비의 값) 정도로 충분합니다. 불필요한 개념을 늘릴 필요 없이 아래 두 가지만 정확히 잡으면 됩니다.
- 수직선 위의 내분점 공식 — m : n 내분점 좌표 유도와 비 순서 적용
- 수직선 위의 중점 공식 — 내분점 공식의 특수 경우(1 : 1)
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