[액티브답지] 그래프를 보고 함수의 연속성을 판단하는 문제
이 문제는 계산이 복잡한 문제가 아닙니다. 핵심은 그래프를 보고 왼쪽에서 가까이 갈 때의 값, 오른쪽에서 가까이 갈 때의 값, 그리고 실제 함수값을 차근차근 읽어내는 것입니다.
특히 3~5등급 학생들은 이런 문제를 볼 때, 식부터 만지기보다 먼저 “지금 x가 어디로 가고 있지?”, “그때 함수값은 어디로 가까워지지?” 를 눈으로 확인하는 습관을 들이는 것이 중요합니다.
연속인지 확인할 때는 항상 좌극한 = 우극한 = 함수값 인지를 보면 됩니다.
1. 핵심 아이디어 먼저 잡기
위 그림은 이 문제 전체를 푸는 데 필요한 핵심을 한 장으로 정리한 것입니다. 함수 f(x)와 g(x)의 그래프를 보고, 각각 어느 점에서 어떤 값으로 다가가는지를 읽어내면 됩니다.
여기서 꼭 기억해야 할 것은, 열린 점은 “그 점에서 실제 값이 아니다”라는 점입니다. 열린 점은 그쪽으로 가까이 갈 때의 모습을 보여주는 경우가 많고, 검은 점이 실제 함수값을 뜻하는 경우가 많습니다.
① 왼쪽에서 갈 때 어디로 가까워지는가?
② 오른쪽에서 갈 때 어디로 가까워지는가?
③ 그 점에서 실제 함수값은 얼마인가?
④ 이 세 가지가 같으면 연속, 다르면 불연속
2. STEP A — f(x)+g(x)는 x=2에서 연속일까?
먼저 ㄱ을 보겠습니다. 합함수는 어렵게 생각할 필요 없이, x=2 근처에서 f(x)가 어디로 가는지, g(x)가 어디로 가는지를 각각 본 다음 더하면 됩니다.
이때 바로 더하려고 하지 말고, 먼저 f(x)의 좌극한/우극한, 그리고 g(x)의 좌극한/우극한을 따로 읽어 주는 것이 훨씬 안전합니다.
이제 그림을 따라가 봅시다.
- x→2- 일 때는 f(x)→2, g(x)→-2 이므로 합은 0입니다.
- x→2+ 일 때는 f(x)→-2, g(x)→2 이므로 합은 역시 0입니다.
- 실제 함수값은 f(2)=-2, g(2)=2 이므로 f(2)+g(2)=0입니다.
즉, 좌극한 = 우극한 = 함수값 = 0 이므로 f(x)+g(x)는 x=2에서 연속입니다. 따라서 ㄱ은 참입니다.
학생들이 여기서 자주 하는 실수는 그래프의 열린 점과 검은 점을 헷갈리는 것입니다. 극한은 “가까이 갈 때의 값”, 함수값은 “실제로 찍혀 있는 값”이라는 점을 꼭 구분하세요.
3. STEP B — f(x)g(x)는 x=0에서 연속일까?
이번에는 ㄴ입니다. 곱함수도 마찬가지입니다. 먼저 x=0 근처에서 f(x)가 어디로 가는지, 그리고 g(x)가 어디로 가는지를 본 다음 곱하면 됩니다.
여기서는 겉으로 보면 g(x)가 x=0에서 왼쪽과 오른쪽이 조금 다르게 보여서 헷갈릴 수 있습니다. 하지만 곱 전체를 보면 오히려 아주 깔끔하게 정리됩니다.
하나씩 읽어 봅시다.
- x→0- 일 때는 f(x)→0, g(x)→2 이므로 f(x)g(x)→0×2=0
- x→0+ 일 때는 f(x)→0, g(x)→-2 이므로 f(x)g(x)→0×(-2)=0
- 실제 함수값은 f(0)=2, g(0)=0 이므로 f(0)g(0)=2×0=0
따라서 여기서도 좌극한 = 우극한 = 함수값 = 0 이고, f(x)g(x)는 x=0에서 연속입니다. 즉 ㄴ은 참입니다.
이 단계에서 꼭 느껴야 하는 포인트는, g(x)의 좌우 접근값이 서로 다르더라도 f(x)가 0으로 가기 때문에 곱 전체는 양쪽 다 0이 된다 는 점입니다. 이 생각이 딱 잡히면 비슷한 문제를 스스로 풀 수 있습니다.
4. STEP C — f(g(x))는 x=-2에서 연속일까?
이제 ㄷ입니다. 이 보기부터는 합성함수가 나오기 때문에 학생들이 가장 많이 막히는 부분입니다. 그런데 합성함수도 순서만 알면 어렵지 않습니다.
f(g(x))에서 먼저 봐야 하는 것은 바깥 함수 f가 아니라 안쪽 함수 g(x)입니다. 즉, “x가 -2로 갈 때 g(x)가 어디로 가느냐?” 를 먼저 확인해야 합니다.
그림을 보면 x→-2일 때 g(x)는 왼쪽에서도, 오른쪽에서도 0으로 가까워집니다. 즉, g(x)→0입니다.
그러면 f(g(x))는 결국 f(0 근처)를 보는 것과 같습니다.
- g(x)→0 이므로 f(g(x))는 f(0 근처의 값)으로 갑니다.
- 그래프에서 f(x)는 x→0일 때 0으로 가까워집니다.
- 따라서 lim(x→-2) f(g(x)) = 0 입니다.
그런데 실제 함수값은 g(-2)=0 이므로 f(g(-2))=f(0)=2 입니다.
즉, 극한값은 0인데 함수값은 2입니다. 둘이 같지 않으므로 f(g(x))는 x=-2에서 연속이 아닙니다. 따라서 ㄷ은 거짓입니다.
f(g(x))가 나오면 무조건 먼저 g(x)가 어디로 가는지를 보세요. 그다음 그 값을 바깥 함수 f에 넣어서 생각하면 됩니다.
5. STEP D — g(x)/f(x)는 x=2에서 연속일까?
마지막으로 ㄹ입니다. 분수함수는 분자 g(x), 분모 f(x)의 값을 각각 읽어 준 뒤 나누기를 하면 됩니다.
이때 특히 중요한 것은 x=2에서 왼쪽과 오른쪽으로 갈 때 f(x)와 g(x)가 각각 어디로 가까워지는지를 정확히 읽는 것입니다. 부호까지 꼼꼼하게 보는 습관이 필요합니다.
차근차근 계산해 보면,
- x→2- 일 때는 g(x)→-2, f(x)→2 이므로 g(x)/f(x)→(-2)/2 = -1
- x→2+ 일 때는 g(x)→2, f(x)→-2 이므로 g(x)/f(x)→2/(-2) = -1
- 실제 함수값은 g(2)=2, f(2)=-2 이므로 g(2)/f(2)=2/(-2) = -1
따라서 좌극한 = 우극한 = 함수값 = -1 이므로 g(x)/f(x)는 x=2에서 연속입니다. 즉 ㄹ은 참입니다.
분수함수라고 해서 무조건 어렵다고 생각할 필요는 없습니다. 오히려 이 문제는 분자와 분모의 접근값만 정확히 읽으면 바로 끝나는 유형입니다.
6. 최종 정리
- ㄱ : 참
- ㄴ : 참
- ㄷ : 거짓
- ㄹ : 참
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이고, 그 개수는 3개입니다.
7. 이 문제에서 꼭 가져가야 할 공부 포인트
- 연속 판정은 항상 좌극한 = 우극한 = 함수값인지 보는 것이다.
- 합함수와 곱함수는 각 함수의 좌우 접근값을 먼저 읽고 난 뒤 계산하면 된다.
- 합성함수 f(g(x))는 무조건 안쪽 함수 g(x)부터 본다.
- 분수함수는 분자와 분모를 따로 읽고 마지막에 나눈다.