문제

다음 방정식

2x³ + 6x² + a = 0

이 -2 ≤ x ≤ 2에서 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 a의 개수를 구하는 문제입니다.

처음 보면 미분도 해야 하고, 그래프도 그려야 하고, 실근 조건도 생각해야 해서 복잡해 보입니다. 하지만 이 문제의 핵심은 생각보다 단순합니다.

먼저 이 문제의 정체부터 알아보자

원래 방정식은

2x³ + 6x² + a = 0

입니다. 여기서 a를 오른쪽으로 보내면

2x³ + 6x² = -a

가 됩니다.

이제 왼쪽을 하나의 함수라고 생각해 봅시다.

y = 2x³ + 6x²

그리고 오른쪽의 -a는 숫자 하나이므로 그래프에서는

y = -a

라는 가로선이 됩니다.

따라서 이 문제는 사실 “가로선 y=-a를 어디에 그어야 그래프와 두 번 만나는가?” 를 묻고 있는 문제입니다.

1단계. 그래프를 완벽하게 그리려고 하지 말자

기초가 부족한 학생들이 여기서 가장 많이 하는 실수가 있습니다.

처음부터 그래프 전체를 완벽하게 그리려고 하는 것입니다.

이 문제에서는 그럴 필요가 없습니다. 먼저 중요한 세 점만 확인하면 됩니다.

함수

g(x) = 2x³ + 6x²

에서 중요한 값 세 개를 구해 봅니다.

g(-2) = 8
g(0) = 0
g(2) = 40

즉,

8 → 0 → 40

이라는 흐름이 보입니다.

그런데 여기서 한 가지 확인해야 합니다. 정말로 -2에서 0까지 계속 내려가고, 0에서 2까지 계속 올라가는지를 확인해야 합니다.

그래서 미분을 사용합니다.

g'(x) = 6x² + 12x = 6x(x+2)

따라서

결국 그래프는 8에서 출발해서 0까지 내려갔다가 다시 40까지 올라갑니다.

이것만 잡으면 그래프의 큰 모양은 끝입니다.

2단계. 가로선이 두 번 만나려면 어디에 있어야 할까?

이제 이 문제의 진짜 핵심입니다.

그래프의 왼쪽 부분은 높이 8에서 시작해서 0까지 내려갑니다.

왼쪽 가지가 가질 수 있는 높이 : 0 ~ 8

오른쪽 부분은 높이 0에서 시작해서 40까지 올라갑니다.

오른쪽 가지가 가질 수 있는 높이 : 0 ~ 40

가로선 하나가 왼쪽에서도 한 번 만나고 오른쪽에서도 한 번 만나려면 두 범위에 모두 포함되는 높이에 있어야 합니다.

두 범위의 공통 부분은

0 ~ 8

입니다.

그런데 아직 끝이 아닙니다. 양 끝인 0과 8을 실제로 포함해도 되는지 확인해야 합니다.

3단계. 0은 안 되고 8은 된다

y = 0일 때

가로선이 x축과 같습니다. 이때 그래프와 만나는 점은 x=0 한 점뿐입니다.

따라서 서로 다른 두 실근이 만들어지지 않습니다.

0은 제외

y = 8일 때

이번에는 x=-2에서 한 번 만나고 오른쪽에서 다시 한 번 만납니다.

서로 다른 두 x값이 생기므로 두 실근 조건을 만족합니다.

8은 포함

따라서 정확한 범위는

0 < -a ≤ 8

입니다.

양변에 -1을 곱하면 부등호 방향이 바뀌므로

-8 ≤ a < 0

이제 정수만 세면 끝

가능한 정수 a는

-8, -7, -6, -5,
-4, -3, -2, -1

총 8개

이 문제에서 진짜 기억해야 할 것

이 문제에서 중요한 것은 복잡한 미분 계산을 기억하는 것이 아닙니다.

다음 흐름만 기억하면 됩니다.

이 네 단계가 보인다면 이미 이 문제의 핵심 구조를 이해한 것입니다.

이제 원래 답지를 다시 읽어보자

처음에는 문제집 해설에 있는

0 < -a ≤ 8

이 한 줄이 갑자기 튀어나온 것처럼 느껴졌을 수 있습니다.

하지만 지금은 이 부등식이 무엇을 뜻하는지 알 수 있습니다.

이것이 바로 0보다 크고 8 이하라는 뜻입니다.

이제 문제집 답지를 다시 보면 이전보다 훨씬 짧고 명확하게 읽힐 것입니다.

소화 완료 체크

해설을 읽고 “알 것 같다”에서 끝내지 마세요.

숫자를 조금 바꾼 문제에서 아래 세 가지를 혼자 할 수 있는지 확인해야 합니다.

이것을 혼자 할 수 있다면 이 문제는 더 이상 어려운 문제가 아닙니다.