[액티브답지] 그래프를 보고 함수의 연속성을 판단하는 문제
이 문제를 처음 보면 그래프도 두 개이고, 합, 곱, 합성함수, 분수함수까지 한꺼번에 나와서 조금 복잡해 보일 수 있습니다.
그런데 실제로는 모든 보기가 똑같은 원리로 풀립니다.
바로 “왼쪽에서 가까이 갈 때의 값, 오른쪽에서 가까이 갈 때의 값, 그리고 그 점에서의 실제 함수값” 을 비교하는 것입니다.
어떤 함수가 x=a에서 연속이려면
좌극한 = 우극한 = 함수값
이 세 값이 모두 같아야 합니다.
먼저 핵심 아이디어부터 잡아 봅시다
본격적으로 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ을 판단하기 전에 이 문제에서 그래프를 어떻게 읽어야 하는지부터 정리해 볼게요.
그래프에 있는 ○ 표시와 ● 표시를 잘 구분해야 합니다.
열린 점 ○은 그 위치로 그래프가 가까워지기는 하지만 실제 함수값이 그 점은 아니라는 뜻이고, 검은 점 ●은 실제 함수값을 나타냅니다.
① 왼쪽에서 그 점으로 가면 어디로 가까워지는가?
② 오른쪽에서 그 점으로 가면 어디로 가까워지는가?
③ 그 점에서 실제 함수값은 얼마인가?
④ 세 값이 모두 같은가?
이제 이 기준 하나만 가지고 보기 ㄱ부터 하나씩 해결해 보겠습니다.
STEP A. f(x)+g(x)는 x=2에서 연속일까?
먼저 ㄱ입니다.
함수 두 개를 더했으니까 어렵게 생각할 필요 없습니다. x=2 근처에서 f(x)가 어디로 가는지, g(x)가 어디로 가는지 각각 확인한 다음 더하면 됩니다.
x가 2보다 작은 쪽에서 2로 가까이 갑니다.
그래프를 보면 이때 f(x)는 2로 가까워지고, g(x)는 -2로 가까워집니다.
따라서 합은
2 + (-2) = 0
즉, 왼쪽에서 가까이 갈 때의 값은 0입니다.
x가 2보다 큰 쪽에서 2로 가까이 갑니다.
이번에는 f(x)가 -2, g(x)가 2로 가까워집니다.
그래서
(-2) + 2 = 0
오른쪽에서 가까이 갈 때도 역시 0입니다.
그래프의 검은 점을 보면
f(2)=-2, g(2)=2
따라서
f(2)+g(2)=(-2)+2=0
우극한 = 0
함수값 = 0
세 값이 모두 같습니다.
따라서 f(x)+g(x)는 x=2에서 연속입니다.
ㄱ은 참입니다.
지금 보고 있는 A단계에서 막힌 부분을 편하게 질문하세요. AI가 이 문제의 현재 단계만 집중해서 설명하도록 연결할 수 있습니다.
· 왜 왼쪽에서는 f(x)가 2로 가나요?
· 열린 점과 검은 점은 어떻게 구분하나요?
· 좌극한과 함수값은 왜 따로 봐야 하나요?
STEP B. f(x)g(x)는 x=0에서 연속일까?
이번에는 두 함수를 더하는 것이 아니라 곱합니다.
그런데 풀이 방법은 거의 똑같습니다. x=0 근처에서 각각의 함수가 어떤 값으로 가까워지는지 보고 마지막에 곱하면 됩니다.
f(x)는 0으로 가까워지고, g(x)는 2로 가까워집니다.
따라서
0 × 2 = 0
f(x)는 역시 0으로 가까워집니다.
그런데 g(x)는 이번에는 -2로 가까워집니다.
그래서
0 × (-2) = 0
여기서 아주 중요한 점이 하나 있습니다.
g(x)는 왼쪽에서는 2, 오른쪽에서는 -2로 가기 때문에 g(x) 자체는 x=0에서 연속이 아닙니다.
하지만 우리가 보는 것은 g(x)가 아니라 f(x)g(x)입니다.
f(x)가 양쪽 모두 0으로 가까워지기 때문에 곱한 결과는 양쪽 모두 0이 됩니다.
f(0)=2이고, g(0)=0입니다.
따라서
f(0)g(0)=2×0=0
우극한 = 0
함수값 = 0
모두 같습니다.
따라서 f(x)g(x)는 x=0에서 연속입니다.
ㄴ은 참입니다.
특히 “g(x)는 불연속인데 왜 곱은 연속이지?”라고 느꼈다면 바로 질문해 보세요.
· g(x)가 불연속인데 곱은 왜 연속이에요?
· 0을 곱하면 왜 좌우 값이 같아지나요?
· f(0)=2인데 왜 극한에서는 0을 사용하나요?
STEP C. f(g(x))는 x=-2에서 연속일까?
여기부터 학생들이 많이 어려워합니다.
이유는 합성함수가 등장하기 때문입니다.
하지만 합성함수는 딱 한 가지 순서만 기억하면 됩니다.
x가 -2로 가까이 갈 때 g(x)는 어디로 가까워질까요?
그래프를 보면 왼쪽에서도, 오른쪽에서도 0으로 가까워집니다.
즉,
x → -2일 때 g(x) → 0
g(x)가 0으로 가까워지고 있으니까 f(g(x))는 결국
f(0 근처의 값)
을 보고 있는 셈입니다.
f의 그래프를 보면 x가 0으로 가까이 갈 때 f(x)는 0으로 가까워집니다.
따라서
x → -2일 때 f(g(x)) → 0
그래프에서 g(-2)=0입니다.
따라서
f(g(-2)) = f(0)
그런데 f의 그래프에서 검은 점을 보면
f(0)=2
입니다.
실제 함수값은 2입니다.
즉,
극한값 ≠ 함수값
따라서 f(g(x))는 x=-2에서 연속이 아닙니다.
ㄷ은 거짓입니다.
f(g(x))를 보면
① 먼저 g(x)가 어디로 가는지 찾고
② 그 값을 f에 넣어서 생각합니다.
바깥 함수부터 보면 훨씬 헷갈립니다.
합성함수는 이 문제에서 가장 어려운 부분입니다. 안쪽 함수부터 보는 이유가 이해되지 않았다면 그냥 넘어가지 마세요.
· 왜 g(x)를 먼저 봐야 하나요?
· g(-2)=0인데 극한은 왜 f(0)=2가 아니에요?
· f(0)과 x→0일 때 f(x)는 왜 다른가요?
STEP D. g(x)/f(x)는 x=2에서 연속일까?
이제 마지막 ㄹ입니다.
분수 형태라고 해서 겁먹을 필요 없습니다.
분자 g(x)와 분모 f(x)를 각각 따로 읽은 다음 나누면 됩니다.
g(x)는 -2로 가까워지고, f(x)는 2로 가까워집니다.
따라서
(-2) ÷ 2 = -1
g(x)는 2로 가까워지고, f(x)는 -2로 가까워집니다.
따라서
2 ÷ (-2) = -1
g(2)=2, f(2)=-2입니다.
따라서
g(2)/f(2) = 2/(-2) = -1
우극한 = -1
함수값 = -1
세 값이 모두 같습니다.
따라서 g(x)/f(x)는 x=2에서 연속입니다.
ㄹ은 참입니다.
분수 형태에서 좌극한과 우극한의 부호가 헷갈리면 각각 따로 읽어서 질문해 보세요.
· 왜 왼쪽도 -1이고 오른쪽도 -1인가요?
· 분모의 값이 0이면 어떻게 되나요?
· 분수함수에서는 무엇을 먼저 확인해야 하나요?
최종 정리
이제 네 개의 보기를 한 번에 정리해 보겠습니다.
ㄱ f(x)+g(x)는 x=2에서 연속 → 참
ㄴ f(x)g(x)는 x=0에서 연속 → 참
ㄷ f(g(x))는 x=-2에서 연속 → 거짓
ㄹ g(x)/f(x)는 x=2에서 연속 → 참
따라서 정답은 3개
이 문제에서 꼭 가져가야 할 것
좌극한 = 우극한 = 함수값
② 합과 곱
각각의 함수가 어디로 가까워지는지 먼저 읽고 마지막에 더하거나 곱합니다.
③ 합성함수
f(g(x))에서는 무조건 안쪽 함수 g(x)부터 봅니다.
④ 분수함수
분자와 분모의 접근값을 따로 읽은 뒤 나눕니다.
⑤ 가장 중요한 습관
○ 열린 점과 ● 실제 함수값을 구분합니다.