“
두 직선이 수직으로 만나는 교점이, 한 선분의 내분점이 되는 복합적인 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AB는 주어진 직선과 수직이므로, 기울기의 곱이 -1이라는 조건에서 a, b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. 점 C는 선분 AB의 1:2 내분점입니다. 내분점 공식을 이용해 C의 좌표를 a, b에 대한 식으로 표현합니다.
3. 점 C는 주어진 직선 위의 점이기도 하므로, 2단계에서 구한 C의 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건과 내분점 조건을 각각 식으로 정확하게 표현하고, 이를 연립방정식으로 풀어내는 능력이 필요합니다.
”
무게중심을 지나고 변에 수직인 직선
“
두 직선에 의해 좌표평면이 세 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 두 직선에 의해 세 부분으로 나뉘는 경우는 오직 두 직선이 서로 평행할 때뿐입니다. (만나면 네 부분, 일치하면 두 부분으로 나뉩니다.)
2. 두 직선이 평행할 조건, 즉 기울기는 같고 y절편은 다르다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 평행 조건(a/a’ = b/b’ ≠ c/c’)을 이용하여 미지수 a에 대한 방정식을 풉니다.
4. 일치하는 경우는 제외하고 평행하기만 한 a값을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건과 일치 조건을 명확히 구분해야 합니다. 문제에서 ‘좌표평면 분할’이라는 표현이 나오면 두 직선의 위치 관계(일치, 평행, 만남)를 떠올려야 합니다.
”
두 직선이 일치할 조건
“
삼각형의 무게중심을 지나고, 특정 변에 수직인 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 이용해 무게중심 G의 좌표를 먼저 구합니다.
2. 직선 AB의 기울기를 구합니다.
3. 구하려는 직선은 AB에 수직이므로, 기울기는 AB 기울기의 음수의 역수가 됩니다.
4. 1단계에서 구한 무게중심 G를 지나고 3단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
문제에서 주어진 조건을 순서대로 적용하면 어렵지 않게 풀 수 있습니다. 무게중심 좌표와 기울기를 정확히 구하는 것이 관건입니다.
”
수직 교점 조건으로 미정계수 찾기
“
두 직선이 두 개 이상의 교점을 가질 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 서로 다른 두 직선이 두 개 이상의 교점을 갖는 경우는 오직 두 직선이 완전히 일치할 때뿐입니다.
2. 두 직선이 일치할 조건, 즉 기울기와 y절편이 모두 같다는 조건을 식으로 표현합니다.
3. 일반형 방정식에서의 일치 조건(a/a’ = b/b’ = c/c’)을 이용하여 미지수 a, b 사이의 관계식을 구합니다.
4. 이 관계식을 이용해 새로운 직선의 방정식을 완성하고 x절편을 구합니다.
주의할 점:
평행(교점 0개), 한 점에서 만남(교점 1개), 일치(교점 무한개)라는 세 가지 위치 관계의 조건을 명확히 이해하고 있어야 합니다.
”
평행 조건과 수직 조건
“
두 직선의 수직 조건과 평행 조건을 모두 사용하여 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (수직 조건) 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 조건을 이용해 k값을 구합니다. (일반형에서는 aa’+bb’=0)
2. (평행 조건) 두 직선의 기울기가 같고 y절편이 다르다는 조건을 이용해 k값을 구합니다. (일반형에서는 a/a’ = b/b’ ≠ c/c’) 이때, 일치하는 경우는 제외해야 합니다.
3. 각각의 조건에서 나온 k값을 문제에서 요구하는 대로 계산합니다.
주의할 점:
평행 조건을 풀 때, 기울기가 같다고 해서 나온 k값 중 두 직선을 일치하게 만드는 값이 있다면 그 값은 제외해야 합니다.
”
위치 관계로 미지수 찾고 넓이 구하기
“
한 직선을 기준으로 수직 조건과 평행 조건을 연달아 적용하여 미지수를 찾고, 최종적으로 도형의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 수직 조건을 이용해 미지수 a의 값을 구합니다.
2. 첫 번째 평행 조건을 이용해 미지수 b의 값을 구합니다.
3. 구한 a, b 값을 최종적으로 구해야 하는 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 완성된 직선의 x절편과 y절편을 구해 삼각형의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
여러 단계를 거치는 문제이므로, 각 단계에서 구한 값을 다음 단계에 정확히 대입해야 합니다. 계산 실수가 없도록 주의하세요.
”
평행과 수직 조건을 연립방정식으로
“
수직 조건과 평행 조건을 이용해 미지수 a, b에 대한 연립방정식을 세우는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 수직 조건을 이용해 a, b에 대한 관계식(ab=2)을 하나 얻습니다.
2. 두 번째 평행 조건을 이용해 a, b에 대한 또 다른 관계식(a+b=3)을 얻습니다.
3. 두 식을 연립하여 a, b 값을 직접 구하지 않고도, 곱셈 공식의 변형(a³+b³ = (a+b)³ – 3ab(a+b))을 이용해 문제에서 요구하는 값을 바로 계산합니다.
주의할 점:
합과 곱을 알고 있을 때, 굳이 각 미지수의 값을 구하지 않고도 곱셈 공식을 통해 다양한 식의 값을 구할 수 있다는 점을 기억하면 시간을 절약할 수 있습니다.
”
두 직선이 평행할 조건
“
두 직선이 서로 평행하기 위한 조건을 묻는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행하려면 기울기는 같고, y절편은 달라야 합니다.
2. 두 직선의 기울기를 같다고 등식을 세워 미지수 k의 값을 구합니다.
3. 두 직선의 y절편이 다른지 확인하여, 구한 k값이 평행 조건에 맞는지 검토합니다. (이 문제에서는 y절편이 상수로 다르므로 항상 평행합니다.)
주의할 점:
y=mx+b 형태로 주어진 직선에서는 기울기와 y절편을 바로 비교할 수 있어 편리합니다. 평행과 일치의 차이를 항상 염두에 두어야 합니다.
”
세 직선이 모두 평행할 조건
“
세 직선에 의해 좌표평면이 네 부분으로 나뉠 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 좌표평면이 세 직선에 의해 네 부분으로 나뉘는 경우는 오직 세 직선이 모두 평행할 때뿐입니다.
2. 따라서 세 직선의 기울기가 모두 같아야 합니다.
3. 첫 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 a값을 구합니다.
4. 두 번째 직선과 세 번째 직선의 기울기를 같다고 놓고 b값을 구합니다.
주의할 점:
세 직선의 위치 관계에 따른 평면 분할 개수를 기억해두면 좋습니다. (모두 평행: 4개, 둘만 평행: 6개, 한 점에서 만남: 6개, 삼각형 형성: 7개)
”
세 직선이 한 점에서 만날 조건
“
세 직선이 한 점에서 만날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선이 한 점에서 만나려면, 미지수가 없는 두 직선의 교점을 나머지 한 직선도 지나야 합니다.
2. 먼저 미지수 k가 없는 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
3. 2단계에서 구한 교점의 좌표를 미지수 k가 포함된 나머지 직선의 방정식에 대입합니다.
4. 대입하여 얻은 k에 대한 방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
‘세 직선이 한 점에서 만난다’는 표현을 ‘두 직선의 교점을 나머지 직선이 지난다’로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
세 직선의 교점이 두 개일 조건
