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평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 포물선을 x축으로 a, y축으로 -2만큼 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=x+1이 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 두 도형이 접하면 교점이 하나이므로, 이 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.
4. 따라서, 이차방정식의 판별식 D=0 이라는 등식을 세워 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
포물선과 직선의 위치 관계(두 점/한 점(접함)/만나지 않음)는 연립한 이차방정식의 판별식 D의 부호(D>0, D=0, D
”
평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건
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평행이동한 포물선과 직선의 두 교점을 잇는 선분의 중점이 원점일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 포물선을 주어진 규칙에 따라 평행이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=mx를 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식의 두 근(α, β)이 바로 두 교점 P, Q의 x좌표입니다.
4. 두 교점 P, Q의 중점이 원점이므로, 중점의 x좌표 (α+β)/2 = 0, 즉 **α+β = 0** 입니다.
5. 2단계에서 세운 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 ‘두 근의 합’이 0이 되도록 하는 m값을 구합니다.
주의할 점:
중점이 원점이라는 조건을 ‘두 교점 x좌표의 합이 0이다’로 변환하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
평행이동한 포물선 교점의 중점 조건
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포물선의 평행이동 규칙을 찾고, 그 규칙을 직선에 적용하여 두 평행한 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 포물선을 각각 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다. 두 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 방향 이동량)을 구합니다.
2. (직선에 적용) 원래 직선 l을 1단계에서 찾은 규칙대로 평행이동하여 새로운 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. 이제 두 직선 l과 l’은 서로 평행합니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
포물선의 이동은 꼭짓점의 이동으로, 직선의 이동은 방정식에 직접 대입하여 구하는 것이 일반적입니다. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 잊지 말아야 합니다.
”
포물선 이동 규칙으로 평행한 직선 거리 구하기
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대칭이동의 규칙을 이용하여 점의 좌표를 찾는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. (x축 대칭) 점 A(3,a)를 x축에 대해 대칭이동한 점 A’의 좌표를 구합니다. (y좌표의 부호만 바뀜)
2. (y=x 대칭) 점 B(5,b)를 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 B’의 좌표를 구합니다. (x좌표와 y좌표를 서로 바꿈)
3. 두 점 A’과 B’이 일치하므로, 각 좌표 성분이 같다고 등식을 세워 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
각 대칭이동(x축, y축, 원점, y=x)에 따라 점의 좌표가 어떻게 변하는지에 대한 기본 규칙을 정확히 암기하고 있어야 합니다.
”
대칭이동의 기본 규칙
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연속적인 대칭이동 후, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(2,4)를 y축에 대해 대칭이동한 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점 P를 원점에 대해 대칭이동한 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 이제 두 점 P와 Q의 좌표를 모두 알았으므로, **두 점 사이의 거리 공식**을 이용해 선분 PQ의 길이를 구합니다.
주의할 점:
이동 순서를 정확히 지켜야 합니다. y축 대칭 후 원점 대칭을 하는 것과, 원점 대칭 후 y축 대칭을 하는 것은 결과가 다를 수 있습니다.
”
연속적인 대칭이동 후 두 점 사이 거리
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연속적인 대칭이동 후 점이 위치하는 사분면을 통해 원래 점의 좌표의 부호를 추론하는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 점 (a,b)를 주어진 순서대로 대칭이동시킵니다.
– x축 대칭: (a, -b)
– y=x 대칭: (-b, a)
2. 최종적으로 이동된 점 (-b, a)가 제2사분면 위에 있습니다.
3. 제2사분면 위의 점은 (x좌표 0) 이므로, -b0 이라는 부등식을 얻습니다.
4. 이 부등식을 통해 a와 b 각각의 부호를 확정하고, 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
각 사분면의 부호 조건을 정확히 알고 있어야 하며, 부등식을 통해 원래 미지수의 부호를 추론하는 과정이 중요합니다.
”
연속 대칭이동과 사분면
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여러 점들이 대칭이동된 후, 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 x축, y축에 대칭이동한 점 B, C의 좌표를 각각 구합니다.
2. 점 D를 y축에 대칭이동한 점 E의 좌표를 a,b를 포함한 식으로 구합니다.
3. 세 점 B, C, E가 한 직선 위에 있으므로, **직선 BC의 기울기와 직선 CE의 기울기가 같다**는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a와 b 사이의 관계식을 얻을 수 있습니다.
5. 문제에서 요구하는 직선 AD의 기울기를 a, b에 대한 식으로 표현하고, 4단계의 관계식을 이용해 값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 공선 조건(기울기가 같다)을 이용해 미지수 사이의 관계식을 이끌어내는 것이 핵심입니다.
”
대칭이동한 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
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평행이동한 원이 다른 원의 둘레를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 원이 다른 원의 둘레를 이등분하려면, **두 원의 공통현이 둘레가 이등분되는 원의 지름**이 되어야 합니다. 이는 공통현이 그 원의 중심을 지난다는 것을 의미합니다.
2. 먼저 x²+y²=25를 평행이동한 원의 방정식을 구합니다.
3. 두 원의 공통현의 방정식을 구합니다. (한 원의 방정식에서 다른 원의 방정식을 뺀다)
4. 이 공통현이 둘레가 이등분되는 원 (x-2)²+(y+1)²=10 의 중심 (2,-1)을 지나야 합니다.
5. 중심 좌표를 공통현 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
‘둘레를 이등분한다’는 조건을 ‘공통현이 중심을 지난다’로 해석하는 것이 핵심입니다.
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평행이동한 원이 다른 원의 둘레를 이등분
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연속적인 대칭이동으로 만들어진 세 점으로 구성된 삼각형의 넓이를 이용해 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 위의 점 A를 (a, a+8)로 설정합니다.
2. 점 A를 y=x 대칭한 점 B, 점 B를 원점 대칭한 점 C의 좌표를 각각 a에 대한 식으로 나타냅니다.
3. 세 점 A, B, C의 위치 관계를 보면, 삼각형 ABC는 항상 **직각삼각형**이 됨을 알 수 있습니다.
4. 두 변 AB와 AC의 길이를 a에 대한 식으로 표현합니다.
5. 직각삼각형의 넓이 공식을 이용해 넓이를 구하고, 이 값이 256과 같다는 방정식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 위치 관계를 파악하여 직각삼각형임을 알아내는 것이 중요합니다. 이를 통해 넓이 계산을 간단히 할 수 있습니다.
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연속 대칭이동과 직각삼각형 넓이
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직선을 평행이동시킨 후, 그 직선이 특정 점을 지날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 4x-3y+k=0을 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구합니다. (x 대신 x+2, y 대신 y-2 대입)
2. 1단계에서 구한 평행이동된 직선이 점 (3,-1)을 지난다고 했으므로, 이 점의 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
3. 대입하면 k에 대한 간단한 일차방정식이 만들어지며, 이를 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 평행이동 시 부호에 주의하여 정확히 대입하는 것이 중요합니다. x축으로 -2만큼 이동은 x 대신 (x+2)를 대입하는 것입니다.
”
평행이동한 직선이 특정 점을 지날 조건
