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626번 문제와 동일하게, x축과 y축을 모두 거쳐 가는 경로의 최단 거리를 이용해 직선의 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,1)를 y축에 대해 대칭이동한 점 A'(-4,1)을 구합니다.
2. 점 B(2,5)를 x축에 대해 대칭이동한 점 B'(2,-5)를 구합니다.
3. 사각형 둘레의 최솟값은 **(선분 A’B’의 길이) + (원래 선분 AB의 길이)** 가 됩니다.
4. 이 문제에서는 최단 경로일 때의 직선 PQ의 기울기를 묻고 있습니다.
5. 최단 경로는 직선 A’B’ 위에 점 P, Q가 있을 때이므로, **직선 A’B’의 기울기**를 구하면 됩니다.
주의할 점:
최단 경로를 만드는 점 P, Q는 대칭이동한 두 점을 잇는 직선과 원래 축들의 교점이라는 사실을 이해해야 합니다.
”
좌표 설정을 통한 실생활 최단 거리
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대칭이동과 원과 점 사이의 거리 개념을 결합한 최단 거리 문제입니다.
접근법:
1. AP+PQ의 최솟값을 구해야 합니다. 점 A를 P가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A’을 구합니다.
2. 그러면 AP+PQ = A’P+PQ 가 되고, 이 값의 최솟값은 점 A’과 원 위의 점 Q 사이의 거리의 최솟값과 같습니다.
3. 이제 문제는 ‘원 밖의 한 점(A’)과 원 위의 점(Q) 사이의 거리의 최솟값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
4. 원의 중심 C와 점 A’ 사이의 거리 d를 구하고, 최솟값 **d – r** (r은 반지름)을 계산합니다.
주의할 점:
대칭이동을 통해 꺾인 경로를 직선 경로로 변환하는 것이 첫 단계입니다. 그 후 원의 최대/최소 거리 공식을 적용합니다.
”
x,y축을 모두 거치는 경로의 최단 거리
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x축과 직선 y=x를 모두 거쳐 가는 경로의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 시작점 A를 점 C가 움직이는 x축에 대해 대칭이동한 점 A₁을 구합니다.
2. 시작점 A를 점 B가 움직이는 직선 y=x에 대해 대칭이동한 점 A₂를 구합니다.
3. 삼각형 ABC의 둘레의 최솟값은, 최종적으로 이동된 두 점 **A₁과 A₂를 직선으로 이은 거리**와 같습니다.
4. 두 점 A₁, A₂ 사이의 거리를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
움직이는 점이 어느 직선(또는 축) 위에 있는지에 따라, 고정된 점을 그 직선(또는 축)에 대해 대칭이동시켜야 합니다.
”
정사각형 내부 경로의 최단 거리
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대칭이동을 이용한 최단 거리 값이 주어졌을 때, 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 제1사분면 위의 점 A를 (a,b) (a>0, b>0)로 설정합니다.
2. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 B(b,a)를 구합니다.
3. 점 A를 x축에 대해 대칭이동한 점 A'(a,-b)를 구합니다.
4. AP+PB의 최솟값은 **선분 A’B의 길이**와 같습니다. 이 길이가 10√2라고 주어졌습니다.
5. 두 점 A’, B 사이의 거리 공식을 이용해 a,b에 대한 식을 세우고, 이 값이 10√2와 같다고 놓습니다.
6. 식을 정리하면 a와 b의 관계를 알 수 있고, 이를 통해 원점과 A 사이의 거리 OA를 구할 수 있습니다.
주의할 점:
최단 거리 문제를 역으로 풀어가는 과정입니다. 대칭이동의 원리를 정확히 이해하고 있어야 방정식을 올바르게 세울 수 있습니다.
”
평행이동을 이용한 최단 거리(강 건너기)
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점대칭 이동한 직선과 원이 만나 생기는 현의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 3x+4y+7=0을 점 (2,-3)에 대해 대칭이동한 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘새로운 직선과 원 x²+y²=25가 만나 생기는 현의 길이’를 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 원의 중심(0,0)과 새로운 직선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 5입니다.
5. 피타고라스 정리 (현/2)² + d² = r² 을 이용해 현의 길이를 구합니다.
주의할 점:
점대칭 이동, 현의 길이 구하기 등 여러 기본 개념이 순차적으로 사용되는 종합 문제입니다.
”
최단 거리가 되는 점의 좌표 찾기
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두 포물선이 한 점에 대하여 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 포물선이 한 점에 대해 대칭이려면, 두 포물선의 모양(이차항의 계수의 절댓값)이 같고, 볼록한 방향이 반대여야 합니다.
2. 가장 중요한 특징은, 대칭의 중심점은 바로 두 포물선의 꼭짓점의 중점이라는 것입니다.
3. 각 포물선을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
4. 두 꼭짓점의 중점 좌표를 구하면, 그 점이 바로 대칭의 중심 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
‘점대칭’의 기하학적 중심이 ‘두 도형의 꼭짓점의 중점’과 일치한다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
연속 대칭이동을 이용한 최단 거리
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평행이동과 대칭이동이 순차적으로 적용된 포물선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동) 먼저 포물선 y=-x²+4x+k를 x축으로 1만큼, y축으로 -2만큼 평행이동한 식을 구합니다. (x 대신 x-1, y 대신 y+2 대입)
2. (x축 대칭) 1단계에서 얻은 포물선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y 대입)
3. 최종적으로 이동된 포물선의 방정식과 문제에서 주어진 y=-x²-6x+5가 서로 일치해야 합니다.
4. 두 방정식의 계수를 비교하여 상수항으로부터 미지수 k의 값을 찾습니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(평행이동은 부호 반대, 대칭이동은 해당 문자 변환)을 순서대로 정확하게 적용하는 것이 중요합니다.
”
점대칭 이동한 직선의 방정식
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점대칭 이동한 포물선과 직선의 교점이 원점 대칭일 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 포물선 y=x²+kx를 점 (2,3)에 대해 대칭이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 새로운 포물선과 직선 y=2x-5를 연립하여 교점의 x좌표를 구하는 이차방정식을 세웁니다.
3. 두 교점이 원점에 대해 대칭이므로, 두 교점의 x좌표의 합은 0이 되어야 합니다.
4. 2단계에서 세운 이차방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 ‘두 근의 합 = 0’ 이라는 등식을 세워 k값을 구합니다.
주의할 점:
두 교점이 원점 대칭이라는 조건을 ‘두 교점의 x좌표의 합이 0이다’로 변환하고, 이를 근과 계수의 관계로 연결하는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
연속 대칭이동을 이용한 사각형 둘레 최솟값
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대칭이동과 평행이동을 거친 포물선이 y축과 만나는 점(y절편)의 좌표를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (원점 대칭) 포물선 y=x²-2x+a-8을 원점에 대해 대칭이동합니다. (x→-x, y→-y)
2. (x축 평행이동) 1단계에서 얻은 포물선을 x축 방향으로 3만큼 평행이동합니다. (x→x-3)
3. 최종적으로 이동된 포물선이 y축과 만나는 점의 y좌표가 2라고 했습니다.
4. 최종 포물선의 방정식에 x=0을 대입한 값이 2가 되도록 하는 a값을 구합니다.
주의할 점:
y축과 만나는 점은 x좌표가 0인 점입니다. 대칭이동과 평행이동을 거친 최종 식에 x=0을 정확히 대입해야 합니다.
”
점대칭과 평행이동의 순차 적용
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점을 직선에 대하여 대칭이동시키는 대표적인 문제입니다. 중점 조건과 수직 조건을 이용합니다.
접근법:
1. 대칭이동한 점을 B(a,b)로 둡니다.
2. (중점 조건) 두 점 A, B의 중점은 대칭축인 직선 위에 있어야 합니다. 중점의 좌표를 구해 직선의 방정식에 대입하여 a,b의 관계식을 하나 얻습니다.
3. (수직 조건) 두 점 A, B를 잇는 직선은 대칭축인 직선과 서로 수직이어야 합니다. 두 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 조건을 이용해 두 번째 관계식을 얻습니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
직선 대칭 문제는 항상 ‘중점’과 ‘수직’이라는 두 가지 핵심 키워드를 이용해 연립방정식을 푼다는 것을 반드시 기억해야 합니다.
”
대칭이동과 원과 점 사이의 최단 거리
