📌 단원 분석 — 평면좌표 · 점의 자취의 방정식
평면좌표 단원의 점이 나타내는 도형의 방정식(자취의 방정식) 유형은 수능 「도형의 방정식」 단원의 모든 소단원(직선·원·도형의 이동)과 직접 연결되는 코어 테크닉입니다. 변수에 조건이 걸린 점을 다른 좌표로 변환했을 때 새로운 점이 그리는 도형을 찾는 문제는, 이후 원의 방정식의 자취·접선 활용, 부등식의 영역, 도형의 이동(평행이동·대칭이동)과 결합되어 4점·고난도 문항으로 확장됩니다.
특히 이 유형은 ① 조건식 세우기 → ② 새 좌표를 x, y로 치환 → ③ 원래 변수를 x, y로 정리 → ④ 조건식에 대입의 4단계 절차가 그대로 모의고사·수능 자취 문제에 적용되므로, 이 절차를 자동화 수준으로 숙달해두는 것이 수능 고득점의 필수 요건입니다.
🎯 1. 출제의도 · 풀이 핵심 맥락
- 출제의도 : 한 직선 위를 움직이는 점 P(a, b)의 좌표를 변환해 만든 새로운 점 Q(a+b, a−b)가 그리는 자취의 방정식을 구할 수 있는지 평가합니다.
- 핵심 맥락 ① : P가 직선 위의 점이므로 3a + b = 1이라는 조건식을 먼저 확보합니다.
- 핵심 맥락 ② : Q의 좌표를 x = a+b, y = a−b로 놓고 a, b를 x, y에 대한 식으로 정리합니다 → a = (x+y)/2, b = (x−y)/2.
- 핵심 맥락 ③ : 정리한 a, b를 조건식 3a + b = 1에 대입해 x, y에 대한 일차식으로 환원하면 곧 점 Q의 자취가 됩니다.
- 마무리 : 식을 mx + y + n = 0 표준꼴로 맞춰 m, n을 읽어내고 m + n을 계산합니다.
🔑 2. 풀이에 필요한 핵심 키워드
아래 키워드는 본 유형 풀이에 필요한 「평면좌표」 단원 외의 핵심 개념입니다. 클릭해 선수 개념을 빠르게 점검하세요.
- 🔗 직선의 방정식 ax + by + c = 0 꼴 — 일반형으로 정리해 m, n을 식별
- 🔗 연립일차방정식의 풀이 — x = a+b, y = a−b를 a, b에 대해 푸는 변수 치환
▶️ 3. 해설 동영상
📝 4. 해설 이미지
💡 STEP A 점 P(a, b)를 직선식 3x + y = 1에 대입 → STEP B 점 Q의 좌표를 x, y로 치환 후 a, b를 정리해 ㉠에 대입 → 2x + y − 1 = 0 도출 → m = 2, n = −1, m + n = 1.