MAPL 마플시너지공통수학2 0054번 | 평면좌표 | 선분의 내분점 — 조건이 주어진 경우 | NORMAL | (1+t):(1-t) 내분점이 제1사분면 → t 범위 → 2ab 구하기

「평면좌표」의 내분점은 단독 계산만 보면 단답형 기본기지만, 수능·학평에서는 거의 항상 “구한 점이 어떤 영역(사분면·직선·축) 위에 있다”는 조건과 결합되어 출제됩니다. 특히 이 유형은 내분점 좌표를 구한 뒤, 그 좌표를 부등식으로 번역해 미지수(여기서는 t)의 범위를 잡아내는 능력을 묻습니다.

54번은 비(比)에 변수 t가 들어간 (1+t):(1−t) 내분점이라 한 단계 더 까다롭습니다. 좌표를 t에 대한 식으로 정리 → 제1사분면 = (x좌표>0 그리고 y좌표>0)의 두 부등식 → 주어진 −1<t<1과의 공통범위까지. 즉 내분점(대수) × 사분면의 부호조건(좌표) × 연립부등식(부등식 단원)이 한 문제에서 맞물리는, 단원 통합형의 표준 설계입니다.

STEP A 비에 변수가 든 내분점 좌표를 t의 식으로 정리
AB를 (1+t):(1−t)로 내분 → 분모 (1+t)+(1−t)가 깔끔하게 상수 2로 정리되는 것이 첫 포인트. x좌표·y좌표 모두 t에 대한 일차식으로 단순해집니다.

STEP B “제1사분면” 한 줄을 부등식 두 개로 번역
제1사분면 = x좌표 > 0 그리고 y좌표 > 0. 두 일차부등식을 각각 풀어 t의 범위를 구한 뒤, 두 범위의 공통부분을 잡습니다.

함정 여기서 끝이 아닙니다. 문제에 −1<t<1이라는 단서가 따로 주어져 있으므로, 부등식으로 얻은 범위와 반드시 교집합을 취해야 진짜 a, b가 나옵니다. 이 단서를 빠뜨리면 양 끝값이 어긋나 오답으로 직결됩니다.