📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
「평면좌표」의 내분점은 단독으로는 단답형 기본 계산이지만, 수능에서는 거의 항상 “구한 점이 어떤 도형 위에 있다”는 조건과 결합되어 등장합니다. 직선·원·좌표축 위의 점은 모두 그 도형의 방정식을 만족한다는 한 줄을 식으로 번역할 수 있어야, 내분점이 직선의 방정식·원의 방정식·자취 문제로 확장되는 4점 문항을 풀 수 있습니다.
51번은 그 결합의 가장 표준적인 첫 형태입니다. ①내분점을 미지수 a가 포함된 채로 구하고 → ②그 점이 직선 y=x 위에 있다는 조건을 좌표 대입으로 식화해 a를 결정하는, ‘계산 + 조건 번역’ 2단 구조가 이 유형의 핵심 설계입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
STEP 1. 미지수를 품은 채 내분점 구하기
두 점 A, B를 잇는 선분을 2 : 1로 내분하는 점의 좌표를 공식으로 계산합니다.
이때 B의 x좌표가 미지수 a이므로, 내분점의 x좌표도
a가 포함된 식으로 남는다는 점이 포인트입니다.
STEP 2. “직선 위에 있다”를 식으로 번역하기
구한 내분점이 직선 y=x 위에 있다는 말은 곧
그 점의 x좌표와 y좌표가 서로 같다는 뜻입니다.
즉 (내분점의 y좌표) = (내분점의 x좌표)로 놓으면 a에 대한 방정식이 완성됩니다.
⚠️ 실수 포인트 — 내분 비율의 방향(2 : 1)을 헷갈려 분자의 가중치(A쪽 1, B쪽 2)를 뒤집는 실수가 가장 잦습니다. 또 “직선 위” 조건을 y좌표만 보거나 한쪽 좌표만 대입하면 식이 성립하지 않으니, 두 좌표가 같다는 등식으로 정확히 옮기세요.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
이 문제는 내분점 공식(해당 단원) 위에, ‘점이 직선 위에 있다’는 조건을 방정식으로 옮기는 직선 단원의 사고가 얹혀야 풀립니다. 아래 두 개념만 정확하면 충분합니다.
- 선분의 내분점 공식 — A, B를 m : n으로 내분하는 점의 좌표 (미지수 포함 계산까지)
- 내분점이 직선 위에 있는 조건 핵심 — “직선 위의 점”을 직선의 방정식에 대입(y=x면 두 좌표가 같다)
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