📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
「평면좌표」에서 내분점 공식은 좌표를 ‘비(比)로 다루는 첫 도구’입니다. 이 유형(수직선 위의 내분점)은 그 출발점으로, 여기서 익힌 공식이 곧바로 좌표평면 위의 내분점·무게중심 → 도형의 방정식(평행사변형·마름모의 꼭짓점) → 직선·원의 방정식으로 확장됩니다. 즉, 1차원(수직선)에서 공식을 ‘몸에 붙여 두면’ 2차원 도형 문제에서 좌표를 세우는 속도가 결정됩니다.
수능·모의고사에서는 단독 출제보다, 두 내분점 사이의 거리·중점·평행사변형 조건처럼 여러 점의 위치 관계와 묶이고, 마지막에 절댓값을 포함한 방정식으로 미지수를 거르는 형태로 자주 나옵니다. 이 문제가 바로 그 ‘축소판’입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
겉보기엔 ‘내분점 두 개 찍고 거리 재는’ 단순 계산이지만, 출제자가 노리는 함정은 두 곳입니다.
① 내분비의 방향을 헷갈리지 않기. 같은 선분 AB라도 3 : 1 내분점과 1 : 3 내분점은 위치가 정반대입니다. 공식 (m·xB + n·xA) / (m+n)에서 m이 어느 점 쪽에 곱해지는지를 정확히 대입하는 것이 첫 관문입니다. → P = (3a−4)/4, Q = (a−12)/4 로 좌표를 먼저 확정합니다.
② 거리 = 절댓값 → 두 경우로 갈라지기. 수직선 위 두 점의 거리는 좌표 차의 절댓값이므로, PQ = | (a−12)/4 − (3a−4)/4 | = | −½a − 2 | = 6. 절댓값을 벗기면 −½a−2 = ±6 두 경우가 나와 a = −16 또는 a = 8. 마지막에 ‘양수 a’라는 조건으로 하나를 걸러내는 것까지가 출제 의도입니다. → a = 8
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 → 개념정리로 이동)
- 개념 수직선 위의 내분점 공식 — (m·xB+n·xA)/(m+n) · 비 m:n의 방향 주의
- 단원 외 절댓값을 포함한 방정식 — |X| = k ⇔ X = ±k 로 갈라 풀기 (다항식·방정식 영역)
- 단원 외 수직선 위 두 점 사이의 거리 — 두 좌표 차의 절댓값 |x2 − x1|
▶️ 해설 동영상
🖼️ 해설 이미지 (정답 ④ · a = 8)
