📌 출제 단원 분석 — 좌표를 이용한 도형의 성질(중선정리)
평면좌표 단원에서 ‘좌표를 이용한 도형의 성질 증명’은 기하적 관계를 좌표와 거리공식으로 바꿔 대수적으로 증명하는 유형입니다. 보조선이나 닮음을 찾는 순수 기하 풀이와 달리, 도형을 좌표평면 위에 올려놓는 순간 모든 길이가 계산 문제로 환원된다는 점이 핵심입니다.
수능 고득점 관점에서 이 유형은 직접 출제 빈도보다 사고법의 확장성이 중요합니다. 이 좌표설정 발상은 이후 도형의 방정식, 원의 방정식, (상위 과정의) 벡터 내적으로 그대로 이어집니다. 즉 고득점의 두 요건은 ① 일반성을 잃지 않게 좌표를 영리하게 잡는 감각(한 점을 원점, 한 변을 x축에 두기), ② 두 점 사이의 거리 공식을 정확하게 적용하는 계산력입니다. 본 문항의 ‘삼등분점 확장 중선정리’는 정확히 이 두 능력을 묻는 대표 문제입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심맥락
증명 과정의 빈칸 (가)~(라)를 채우는 빈칸 추론형입니다. 풀이의 흐름은 다음 세 단계로 고정됩니다.
- 좌표 설정 — 점 B를 원점, 직선 BC를 x축으로 두어 A(a, b), B(0, 0), C(3c, 0)로 잡습니다. 이렇게 두면 일반성을 잃지 않으면서 계산이 가장 단순해집니다.
- 삼등분점 좌표 결정 — BC의 삼등분점이므로 M(c, 0), N(2c, 0). 따라서 (가) = 2c 가 자연스럽게 결정됩니다. 여기서 N의 좌표를 c로 착각하지 않는 것이 첫 번째 함정입니다.
- 거리공식 적용 후 식 비교 — 각 선분의 제곱을 두 점 사이의 거리 공식으로 전개하면, 좌변(AB²+AC²)과 우변(AM²+AN²+4MN²)이 모두 2a² − 6ac + 2b² + 9c² 으로 일치합니다. MN = c 이므로 4MN² = 4c² (라) 의 계수 처리가 두 번째 함정입니다.
정답은 ③ 입니다. (가) 2c, (나) (3c−a)²+b², (다) (c−a)²+b², (라) 4c².
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
이 문제를 막힘없이 풀려면 아래 두 개념이 손에 익어 있어야 합니다. 클릭하면 개념정리 포스트로 이동합니다.
- 👉 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지 : 모든 선분의 제곱을 계산하는 핵심 도구
- 👉 중선정리(파포스 정리) — AB²+AC²=2(AM²+BM²) 유도 : 본 문항이 ‘삼등분점’으로 확장한 원형 정리
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