이 유형이 수능 고득점에 왜 필요한가
‘좌표를 이용한 도형의 성질’은 기하적 사실을 좌표·거리 계산으로 바꿔 증명하는 단원입니다. 보조선을 긋거나 합동·닮음을 동원하지 않아도, 도형을 좌표평면 위에 적절히 올려놓기만 하면 변과 중선의 길이 관계를 두 점 사이의 거리 공식만으로 깔끔하게 처리할 수 있습니다.
수능에서는 이 단원이 단독으로 어렵게 출제되기보다는 무게중심·자취·도형의 넓이/길이 최적화 문제의 ‘밑작업’으로 자주 등장합니다. 그중에서도 중선정리(파포스 정리)는 삼각형 ABC에서 한 변 BC의 중점 M에 대해 AB²+AC²=2(AM²+BM²) 가 성립한다는 정리로, 좌표뿐 아니라 코사인법칙·벡터로도 유도되어 단원 간 연계가 강한 핵심 결과입니다. 이 유형을 통해 “도형을 어디에 어떻게 좌표로 놓을 것인가”를 훈련하는 것이 고득점의 출발점입니다.
출제의도와 풀이 핵심 맥락
- 좌표를 효율적으로 잡기 — 변 BC를 x축, 중점 M을 원점에 두면 B(−c, 0), C(c, 0)으로 좌우 대칭이 되어 계산량이 최소가 됩니다. (M이 원점 → BM 계산이 단순)
- 거리 공식으로 길이의 제곱 표현 — A(a, b)로 두고 AB², AC², AM², BM² 을 모두 a, b, c 로 나타내는 것이 핵심 단계입니다.
- 빈칸 채우기형 증명 — 각 단계에서 식이 어떻게 정리되는지 흐름을 읽으면, 양변을 비교해 빈칸에 들어갈 식을 찾을 수 있습니다. (정답: ④ a²+b²+c²)
풀이에 필요한 핵심 개념
아래 개념이 이 문제 풀이의 직접적인 재료가 됩니다. 부족한 부분은 링크에서 바로 복습하세요.
- 두 점 사이의 거리 공식 — AB², AC², AM², BM² 을 좌표로 계산하는 데 필수
- 중선정리(파포스 정리) 공식 유도 — 이 문제가 증명하려는 결론 자체의 의미와 유도 과정
- 선분의 중점 좌표 — M을 원점으로 두는 좌표 설정의 근거 (BC의 중점)
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