📌 15ˣ = 8에서 x를 구하지 않고도 a를 찾을 수 있다는 거, 알고 계셨나요?
이 문제는 2019년 6월 고2 학력평가 14번으로 출제된 지수법칙을 이용한 밑 통일 유형입니다. 15ˣ = 8, aʸ = 2라는 조건에서 x, y를 직접 구하지 않고 밑을 2로 통일한 뒤 지수끼리 비교하는 것이 핵심 전략입니다. 3/x + 1/y = 2 조건을 지수 표현으로 바꿔 15 × a를 계산하면 깔끔하게 풀립니다. 정답은 ④ 4/15입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 71번 · 2019.06 고2학평 14번)
양수 a와 두 실수 x, y가 15ˣ = 8, aʸ = 2, 3/x + 1/y = 2를 만족시킬 때 a의 값을 구하는 문제입니다. 지수법칙으로 밑을 2로 통일한 뒤, 3/x + 1/y = 2 조건을 활용해 15a = 2² = 4로 만드는 것이 포인트입니다. 정답은 ④입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
15ˣ = 8 = 2³에서 15 = (2³)^(1/x) = 2^(3/x)입니다.
aʸ = 2에서 a = 2^(1/y)입니다.
이렇게 밑을 모두 2로 통일하면 이후 계산이 깔끔해집니다.
15 × a = 2^(3/x) × 2^(1/y) = 2^(3/x + 1/y) = 2² = 4이므로
a = 4/15입니다.
15ˣ = 8에서 x = log₁₅8이고 1/x = log₈15이므로 3/x = 3log₈15 = log₂15입니다.
aʸ = 2에서 y = log_a 2이고 1/y = log₂a입니다.
3/x + 1/y = log₂15 + log₂a = log₂(15a) = 2이므로 15a = 2² = 4, 따라서 a = 4/15입니다.
∴ a = 4/15 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 15ˣ = 8에서 x = 8/15로 나누어 구하려는 시도.
지수 방정식에서 밑과 지수를 혼동하면 안 됩니다. 15ˣ = 8은 x = log₁₅8이지 8/15이 아닙니다.
실수 ② 3/x + 1/y = 2 조건을 무시하고 x, y를 각각 구하려는 풀이.
이 유형은 x, y를 개별로 구하지 않고 조건식을 통째로 활용하는 것이 핵심입니다.
실수 ③ 밑을 2가 아닌 다른 수로 통일하여 계산이 복잡해지는 경우.
8 = 2³, aʸ = 2이므로 밑을 2로 통일하는 것이 가장 자연스럽습니다.
💡 꿀팁 – “밑 통일 → 지수 조건 대입” 2단계 공식
이 유형의 풀이 패턴은 언제나 동일합니다.
① Aˣ = B 꼴 → A = B^(1/x)으로 변형하여 밑을 하나로 통일
② 1/x, 1/y 등이 포함된 조건식을 지수에 그대로 대입
이 두 단계만 기억하면 학평·모평·수능에서 이 유형을 만났을 때 30초 안에 풀 수 있습니다.