📌 ⁿ√a가 자연수가 되려면 a가 어떤 수의 n제곱이어야 합니다. n별로 경우를 나눠보세요!
이 문제는 y = xⁿ과 y = a의 교점의 x좌표가 자연수가 되는 순서쌍 (n, a)의 개수를 구하는 문제입니다. 교점의 x좌표는 ⁿ√a이므로, ⁿ√a가 자연수가 되려면 a = kⁿ (k는 자연수) 꼴이어야 합니다. n = 2이면 a = 4, 9, 16, …, 100으로 9개, n = 3이면 a = 8, 27, 64로 3개, … 이렇게 n별로 가능한 a를 세는 것이 핵심입니다. 정답은 16입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 109번 · STEP3 일등급문제)
함수 y = xⁿ (x > 0)과 직선 y = a (2 ≤ a ≤ 100, a는 자연수)의 교점의 x좌표가 자연수가 되도록 하는 순서쌍 (n, a)의 개수를 구하시오. (단, n이 2 이상인 자연수이다.) 정답은 16입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
xⁿ = a에서 x > 0이므로 교점의 x좌표는 ⁿ√a입니다.
ⁿ√a가 자연수가 되려면 a = kⁿ (k ≥ 2인 자연수, 2 ≤ a ≤ 100)이어야 합니다.
(ⅰ) n = 2일 때: a = 2², 3², 4², …, 10² → (2, 4), (2, 9), …, (2, 100) → 9개
(ⅱ) n = 3일 때: a = 2³, 3³, 4³ → (3, 8), (3, 27), (3, 64) → 3개
(ⅲ) n = 4일 때: a = 2⁴, 3⁴ → (4, 16), (4, 81) → 2개
(ⅳ) n = 5일 때: a = 2⁵ → (5, 32) → 1개
(ⅴ) n = 6일 때: a = 2⁶ → (6, 64) → 1개
n ≥ 7이면 2⁷ = 128 > 100이므로 해당 없음.
(ⅰ)~(ⅴ)에 의하여 순서쌍 (n, a)의 개수는
9 + 3 + 2 + 1 + 1 = 16
∴ 정답: 16
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① n = 2일 때 a = 1² = 1을 포함시키는 오류. a ≥ 2 조건에 의해 k ≥ 2입니다.
실수 ② n = 6일 때 a = 2⁶ = 64를 빠뜨리는 경우. n이 커질수록 가능한 a가 적어지지만 2⁶ = 64 ≤ 100이므로 포함해야 합니다.
실수 ③ 중복 카운팅. (2, 64)와 (6, 64)는 n이 다르므로 서로 다른 순서쌍입니다. 중복이 아닙니다.
💡 꿀팁 – “ⁿ√a가 자연수” 유형 체계적 세기
ⁿ√a ∈ ℕ ⟺ a = kⁿ (k ∈ ℕ)이므로,
① n을 고정하고 kⁿ ≤ 100을 만족하는 k를 세거나
② k를 고정하고 kⁿ ≤ 100을 만족하는 n을 세거나
둘 중 편한 방법을 사용하세요. 보통 n을 고정하는 것이 빠릅니다.