📌 근과 계수의 관계 + 지수법칙을 동시에 쓰는 복합 유형! 약수 조건까지 꼼꼼히 따져야 합니다.
이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계로 αₙ + βₙ, αₙβₙ을 구한 뒤, 지수법칙을 활용해 식을 정리하고, 최종적으로 16/(n+1)이 음이 아닌 정수가 되는 자연수 n을 찾는 문제입니다. “2의 거듭제곱 꼴”로 정리하는 과정과 “n+1이 16의 양의 약수”라는 조건을 놓치지 않는 것이 핵심입니다. 정답은 26입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 103번 · STEP3 일등급문제)
자연수 n에 대하여 이차방정식 n(n+1)x² − (2n+1)x + 1 = 0의 서로 다른 두 실근을 αₙ, βₙ이라 하자. {(2αₙ × 2βₙ) / (2αₙ)βₙ}8의 값이 자연수가 되도록 하는 n의 값의 합을 구하는 문제입니다. 정답은 26입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
이차방정식 n(n+1)x² − (2n+1)x + 1 = 0의 두 실근이 αₙ, βₙ이므로
근과 계수의 관계에 의하여
αₙ + βₙ = (2n+1) / n(n+1), αₙβₙ = 1 / n(n+1)
지수법칙을 적용합니다.
αₙ + βₙ − αₙβₙ = (2n+1)/n(n+1) − 1/n(n+1) = 2n/n(n+1) = 2/(n+1)
따라서
{(2αₙ × 2βₙ) / (2αₙ)βₙ}8
= (2αₙ+βₙ / 2αₙβₙ)8
= (2αₙ+βₙ−αₙβₙ)8
= (22/(n+1))8
= 216/(n+1)
이때 216/(n+1)의 값이 자연수가 되려면 16/(n+1)이 음이 아닌 정수이어야 하므로
n+1이 16의 양의 약수이어야 합니다.
16의 양의 약수: 1, 2, 4, 8, 16
n+1 = 1일 때 n = 0 (자연수 아님 → 제외)
n+1 = 2 → n = 1
n+1 = 4 → n = 3
n+1 = 8 → n = 7
n+1 = 16 → n = 15
따라서 자연수 n의 값의 합은 1 + 3 + 7 + 15 = 26
∴ 정답: 26
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 지수 계산에서 (2αₙ)βₙ = 2αₙ+βₙ으로 잘못 적용하는 경우.
(2αₙ)βₙ = 2αₙ·βₙ입니다. 지수의 곱셈이지 덧셈이 아닙니다.
실수 ② αₙ + βₙ − αₙβₙ 계산에서 부분분수 분해를 실수하는 경우.
(2n+1)/n(n+1) = 2/n(n+1) + (2n-1)/n(n+1)이 아니라,
직접 2n/n(n+1) = 2/(n+1)로 정리해야 합니다.
실수 ③ n+1 = 1, 즉 n = 0을 자연수로 포함시키는 오류.
자연수는 1부터이므로 n = 0은 제외합니다.
💡 꿀팁 – “2ᵏ이 자연수” 조건 빠르게 처리하기
2k이 자연수가 되려면 k가 0 이상의 정수이면 됩니다.
(2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, …)
따라서 k = 16/(n+1) ≥ 0이고 정수 → n+1은 16의 양의 약수.
이 패턴은 “aᵏ이 자연수” 유형에서 항상 동일하게 적용됩니다.
밑이 소수(2, 3, 5 등)일 때는 k가 음이 아닌 정수인지만 확인하면 끝!