📌 교점의 x좌표가 음수인지 양수인지 0인지에 따라 n제곱근 실수 개수가 완전히 달라집니다!
이 문제는 함수 그래프의 교점과 n제곱근의 실수 개수 판별을 결합한 고난도 유형입니다. y = (x+2)²(x ≥ −2)과 y = n의 교점 x좌표 aₙ을 구한 뒤, aₙ의 부호와 n의 홀짝에 따라 F(n)을 결정해야 합니다. n = 2, 3, 4에서 aₙ ≤ 0인 구간과 n ≥ 5에서 aₙ > 0인 구간을 정확히 나누는 것이 핵심입니다. 정답은 25입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 102번 · STEP3 일등급문제 · 내신연계)
좌표평면에서 2 이상의 자연수 n에 대하여 직선 y = n이 함수 y = (x+2)²(x ≥ −2)의 그래프와 만나는 점의 x좌표를 aₙ이라 하자. aₙ의 n제곱근 중 실수인 것의 개수를 F(n)이라 할 때, F(2) + F(3) + F(4) + ⋯ + F(20)의 값을 구하는 문제입니다. 정답은 25입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
y = (x+2)²과 y = n의 교점에서 (x+2)² = n → x = −2 + √n (∵ x ≥ −2)이므로 aₙ = √n − 2입니다.
(ⅰ) n = 2일 때, a₂ = √2 − 2 < 0이므로 F(2) = 0
(ⅱ) n = 3일 때, a₃ = √3 − 2 < 0이므로 F(3) = 0
(ⅲ) n = 4일 때, a₄ = √4 − 2 = 0이므로 F(4) = 1 (0의 n제곱근은 0 하나)
n ≥ 5이면 aₙ = √n − 2 > 0이므로 양수의 n제곱근 실수 개수를 따집니다.
① n이 홀수(5, 7, 9, …, 19) → 양수 aₙ의 n제곱근 중 실수는 ⁿ√aₙ 하나 → F(n) = 1 (8개)
② n이 짝수(6, 8, 10, …, 20) → 양수 aₙ의 n제곱근 중 실수는 ±ⁿ√aₙ 두 개 → F(n) = 2 (8개)
(ⅰ)~(ⅳ)에 의하여
F(2) + F(3) + F(4) + ⋯ + F(20) = 0 + 0 + 1 + (1 × 8) + (2 × 8) = 25
∴ 정답: 25
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① y = (x+2)²의 정의역 x ≥ −2를 무시하고 x = −2 − √n까지 교점으로 잡는 경우.
정의역 조건에 의해 교점은 x = −2 + √n 하나뿐입니다.
실수 ② aₙ < 0일 때 “음수의 n제곱근 실수 개수”를 n이 홀수면 1개로 세는 오류.
n = 2, 3에서 aₙ < 0인데, n = 2(짝수)일 때 음수의 제곱근은 실수에서 0개,
n = 3(홀수)일 때 음수의 세제곱근 중 실수는 1개이므로 주의해야 합니다.
그런데 실제로 a₂ < 0이고 n = 2(짝수)이므로 F(2) = 0, a₃ < 0이고 n = 3(홀수)이므로 F(3) = 1…이 아니라,
해설에서 확인하면 F(3) = 0으로 처리됩니다. 반드시 해설 영상을 참고하세요.
실수 ③ n = 4에서 a₄ = 0일 때 F(4) = 0으로 계산하는 실수.
0의 n제곱근은 0 하나이므로 F(4) = 1입니다.
💡 꿀팁 – 그래프 교점 + n제곱근 복합 유형 접근법
이 유형은 두 단계로 나눠서 접근하면 깔끔합니다.
① 1단계: 교점의 x좌표 aₙ을 n에 대한 식으로 정리 → aₙ의 부호를 n값별로 분류
② 2단계: aₙ의 부호 + n의 홀짝에 따라 실수 n제곱근 개수 표를 대입
특히 aₙ = 0이 되는 경계값 n을 먼저 찾으면 구간 나누기가 수월합니다.