📌 t² = −x² + 9에서 실수 t의 개수를 바로 구할 수 있나요? 이 문제를 놓치면 일등급은 멀어집니다!
이 문제는 거듭제곱근의 정의와 이차식의 부호 분석을 결합한 STEP3 일등급 문제입니다. t² = −x² + 9에서 우변의 부호에 따라 실수 t의 개수가 2개, 1개, 0개로 달라지고, 이를 함수 f(x)로 정의한 뒤 보기 ㄱ~ㄷ의 참·거짓을 판별해야 합니다. x의 범위별 경우 분류를 확실히 하고, y = f(x)의 그래프를 직접 그려 보면 보기가 한눈에 풀립니다. 정답은 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 101번 · STEP3 일등급문제)
실수 x에 대하여 t² = −x² + 9를 만족시키는 실수 t의 개수를 f(x)라 하고, 보기 ㄱ. f(−3) = 1, ㄴ. f(x) = 2를 만족시키는 정수 x의 개수는 5개, ㄷ. y = f(x)와 y = x²은 두 점에서 만난다 — 이 세 보기의 참·거짓을 판별하는 문제입니다. 정답은 ⑤입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 보기별 핵심 풀이 요약
t² = −x² + 9에서 우변 −x² + 9의 부호를 분석합니다.
(ⅰ) −x² + 9 > 0, 즉 −3 < x < 3일 때 → t = ±√(−x²+9)로 실수 t는 2개
(ⅱ) −x² + 9 = 0, 즉 x = ±3일 때 → t = 0으로 실수 t는 1개
(ⅲ) −x² + 9 < 0, 즉 x < −3 또는 x > 3일 때 → 실수 t는 0개
x = −3일 때 t² = −9 + 9 = 0이므로 t = 0, 실수 t의 값은 1개입니다. 따라서 f(−3) = 1은 참입니다.
f(x) = 2가 되려면 −3 < x < 3이어야 합니다. 이 범위의 정수는 x = −2, −1, 0, 1, 2로 5개이므로 참입니다.
y = f(x)는 −3 < x < 3에서 y = 2, x = ±3에서 y = 1, 나머지에서 y = 0인 계단 함수입니다. y = x²과의 교점을 구하면 x = ±1 (y = 1은 x = ±3에서만 가능하나 이때 x² = 9 ≠ 1이므로 해당 없음), 실제로는 y = 2와 y = x²에서 x² = 2, 즉 x = ±√2에서 두 점이 만납니다. 참입니다.
∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① x = ±3에서 t = 0이므로 “실수 t가 없다”고 착각하는 경우.
t = 0도 엄연한 실수이므로 f(±3) = 1입니다.
실수 ② f(x) = 2의 범위를 −3 ≤ x ≤ 3으로 잡아 정수를 7개로 세는 실수.
등호가 붙는 x = ±3에서는 f(x) = 1이므로 순수하게 −3 < x < 3만 세어야 합니다.
실수 ③ y = f(x) 그래프를 연속 곡선으로 그리는 오류.
f(x)는 0, 1, 2의 값만 취하는 불연속 계단 함수이므로, 그래프를 정확히 그려야 교점을 올바르게 판별할 수 있습니다.
💡 꿀팁 – t² = (x에 대한 식) 유형 빠른 풀이법
t² = g(x) 꼴에서 실수 t의 개수는 오직 g(x)의 부호로 결정됩니다.
① g(x) > 0 → 실수 t는 2개 (±√g(x))
② g(x) = 0 → 실수 t는 1개 (t = 0)
③ g(x) < 0 → 실수 t는 0개
이 3가지만 기억하면, g(x)의 부호만 빠르게 분석해서 f(x)를 구성할 수 있습니다.
특히 g(x)가 이차식이면 판별식 또는 꼭짓점 부호만 보면 되므로 30초 안에 해결 가능합니다.