📌 분자·분모에 a^(1/2)과 a^(3/2)이 섞여 있어서 막막하다면? 각각 따로 구하면 됩니다!
이 문제는 유리수 지수 대칭식의 종합 응용 서술형 유형입니다. a + a⁻¹ = 11에서 출발하여 a^(1/2) − a^(-1/2), a^(3/2) − a^(-3/2)을 각각 구한 뒤, 분자·분모에 숫자값을 대입해 최종 분수값을 계산합니다. 94번에서 익힌 “대칭식 확장 패턴”의 심화 버전이므로, 94번을 먼저 풀고 도전하면 더 수월합니다. 정답은 10입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 95번 · 서술형)
a + a⁻¹ = 11일 때, (a^(3/2) − a^(-3/2) + 14) / (a^(1/2) − a^(-1/2) + 2) 의 값을 구하는 서술형 문제입니다. (단, a > 1)
[1단계] a^(1/2) − a^(-1/2)의 값을 구한다. [3점]
[2단계] a^(3/2) − a^(-3/2)의 값을 구한다. [4점]
[3단계] (a^(3/2) − a^(-3/2) + 14) / (a^(1/2) − a^(-1/2) + 2)의 값을 구한다. [3점]
정답은 10입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(a^(1/2) − a^(-1/2))² = a − 2 × a^(1/2) × a^(-1/2) + a⁻¹
= (a + a⁻¹) − 2 = 11 − 2 = 9
이때 a > 1이므로 a^(1/2) − a^(-1/2) > 0
∴ a^(1/2) − a^(-1/2) = 3
a^(1/2) − a^(-1/2) = 3의 양변을 세제곱하면
(a^(1/2) − a^(-1/2))³ = 3³에서
a^(3/2) − 3 × a^(1/2) × a^(-1/2) × (a^(1/2) − a^(-1/2)) − a^(-3/2) = 27
a^(3/2) − a^(-3/2) − 9 = 27
∴ a^(3/2) − a^(-3/2) = 36
[별해] a^(3/2) − a^(-3/2) = (a^(1/2) − a^(-1/2))(a + 1 + a⁻¹) = 3 × (11 + 1) = 36
(a^(3/2) − a^(-3/2) + 14) / (a^(1/2) − a^(-1/2) + 2)
= (36 + 14) / (3 + 2)
= 50 / 5 = 10
∴ (a^(3/2) − a^(-3/2) + 14) / (a^(1/2) − a^(-1/2) + 2) = 10
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (a^(1/2) − a^(-1/2))²을 전개할 때 중간항의 부호를 혼동하는 경우.
(A − B)² = A² − 2AB + B²이므로, −2 × a^(1/2) × a^(-1/2) = −2가 됩니다.
실수 ② 세제곱 전개에서 (A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³를 잘못 적용하는 경우.
3A²B − 3AB² = 3AB(A − B) 로 묶으면 계산이 훨씬 깔끔합니다.
실수 ③ 최종 대입 단계에서 분자·분모 값을 바꿔 넣는 단순 실수.
분자 = 36 + 14 = 50, 분모 = 3 + 2 = 5를 차분히 확인하세요.
💡 꿀팁 – a^(3/2) − a^(-3/2) 빠른 계산법
별해에서 소개한 인수분해 공식을 기억하면 세제곱 전개 없이 바로 구할 수 있습니다:
① A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)에서 A = a^(1/2), B = a^(-1/2)로 놓으면
② a^(3/2) − a^(-3/2) = (a^(1/2) − a^(-1/2))(a + 1 + a⁻¹)
③ = 3 × (11 + 1) = 36 → 세제곱 전개보다 훨씬 빠릅니다!
서술형 시험에서 시간 절약에 큰 도움이 되니 반드시 익혀두세요.