📌 (2ᵃ)^(b+c) × (2ᵇ)^(c+a) × (2ᶜ)^(a+b) — 지수를 어떻게 정리할지 막막하다면?
이 문제는 곱셈 공식의 변형과 지수법칙을 결합하는 서술형 유형입니다. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 공식으로 ab + bc + ca 값을 먼저 구한 뒤, 지수를 합산하여 전체 식을 2^(2(ab + bc + ca)) 꼴로 정리합니다. 곱셈 공식과 지수법칙이 한 문제에서 만나는 대표적인 융합 서술형입니다. 정답은 8입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 93번 · 서술형)
세 실수 a, b, c가 a² + b² + c² = 12, a + b + c = √15를 만족시킬 때,
(2ᵃ)^(b+c) × (2ᵇ)^(c+a) × (2ᶜ)^(a+b)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
[1단계] 곱셈 공식의 변형을 이용하여 ab + bc + ca의 값을 구한다. [4점]
[2단계] 지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 정리한다. [4점]
[3단계] 주어진 식의 값을 구한다. [2점]
정답은 8입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)이므로
(√15)² = 12 + 2(ab + bc + ca)
15 = 12 + 2(ab + bc + ca), 2(ab + bc + ca) = 3
∴ ab + bc + ca = 3/2
(2ᵃ)^(b+c) × (2ᵇ)^(c+a) × (2ᶜ)^(a+b)
= 2^(ab+ac) × 2^(bc+ba) × 2^(ca+cb)
= 2^(ab+ac+bc+ba+ca+cb)
= 2^(2(ab+bc+ca))
따라서 (2ᵃ)^(b+c) × (2ᵇ)^(c+a) × (2ᶜ)^(a+b) = 2^(2(ab+bc+ca))
= 2^(2 × 3/2) = (2²)^(3/2) … 아니, 더 간단하게
= 2³ = 8
∴ (2ᵃ)^(b+c) × (2ᵇ)^(c+a) × (2ᶜ)^(a+b) = 8
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① (a + b + c)² 전개에서 2(ab + bc + ca) 앞의 계수 2를 빠뜨리는 경우.
완전제곱식의 전개에서 교차항 계수 2를 반드시 확인하세요.
실수 ② (2ᵃ)^(b+c) = 2^(a(b+c)) = 2^(ab+ac)로 전개할 때, 각 항의 지수를 정확히 분배하지 않는 경우.
(밑)^(지수)의 거듭제곱 → 지수끼리 곱하기 법칙을 정확히 적용하세요.
실수 ③ 지수를 합산할 때 ab, bc, ca가 각각 2번씩 나오는 것을 놓치는 경우.
세 항을 전개하면 ab+ac+bc+ba+ca+cb이므로 2(ab+bc+ca)가 됩니다.
💡 꿀팁 – 곱셈 공식 + 지수법칙 융합 패턴
이 유형의 핵심은 “지수 부분을 합산하면 대칭식이 된다”는 점입니다.
① 지수법칙 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ으로 각 항을 전개
② 같은 밑이면 지수끼리 덧셈
③ 합산된 지수가 ab+bc+ca의 배수 꼴 → 곱셈 공식으로 값 결정
25번 문제(a+b+c=√10, a²+b²+c²=12)도 같은 패턴이니 함께 풀어보세요.