📌 aˣ = bʸ = cᶻ = 27이면 a, b, c를 어떻게 3으로 표현할까요?
이 문제는 공통값 조건과 지수법칙을 결합하는 서술형 대표 유형입니다. aˣ = bʸ = cᶻ = 27 = 3³ 조건에서 각 밑을 3의 거듭제곱으로 바꾸고, abc = 9 조건을 지수의 합으로 변환하여 1/x + 1/y + 1/z를 구합니다. 3단계 풀이 과정을 따라가면 “공통값 문제”의 풀이 뼈대가 확실히 잡힙니다. 정답은 2/3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 92번 · 서술형)
양수 a, b, c에 대하여 abc = 9, aˣ = bʸ = cᶻ = 27을 만족할 때, 1/x + 1/y + 1/z의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
[1단계] aˣ = bʸ = cᶻ = 27에서 a, b, c의 값을 구한다. [5점]
[2단계] abc = 9에서 지수법칙을 이용하여 x, y, z의 관계식을 구한다. [2점]
[3단계] 1/x + 1/y + 1/z의 값을 구한다. [3점]
정답은 2/3입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
aˣ = 27에서 양변을 1/x 제곱하면 (aˣ)^(1/x) = (3³)^(1/x) → a = 3^(3/x) … ⓐ
bʸ = 27에서 같은 방법으로 b = 3^(3/y) … ⓑ
cᶻ = 27에서 같은 방법으로 c = 3^(3/z) … ⓒ
ⓐ × ⓑ × ⓒ을 하면 abc = 3^(3/x) × 3^(3/y) × 3^(3/z) = 3^(3/x + 3/y + 3/z)
이때 abc = 9이므로 3^(3/x + 3/y + 3/z) = 3²
∴ 3/x + 3/y + 3/z = 2
3(1/x + 1/y + 1/z) = 2이므로
∴ 1/x + 1/y + 1/z = 2/3
∴ 1/x + 1/y + 1/z = 2/3
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① aˣ = 27에서 “a = 27/x”처럼 나눗셈으로 처리하는 오류.
지수식에서는 양변을 1/x 제곱하여 밑을 구해야 합니다.
실수 ② 3^(3/x + 3/y + 3/z) = 3² 에서 지수끼리 등치시키는 과정을 빠뜨리는 경우.
밑이 같으면 지수가 같다는 원리를 반드시 적용하세요.
실수 ③ 3(1/x + 1/y + 1/z) = 2에서 양변을 3으로 나누는 것을 잊는 경우.
최종 답을 구하기 전에 공통인수 3을 꼭 처리하세요.
💡 꿀팁 – “공통값” 조건 문제 풀이 패턴
aˣ = bʸ = cᶻ = k (공통값) 꼴 문제는 다음 패턴을 따르세요:
① 공통값 k를 소인수분해(예: 27 = 3³)
② 각 밑을 k의 밑으로 표현 (a = 3^(3/x) 등)
③ 나머지 조건(abc = 9 등)에 대입 → 지수법칙으로 합산
④ 밑이 같으면 지수끼리 등치
이 4단계 패턴이 내신 서술형에서 자주 출제됩니다.