📌 분모·분자에 aˣ를 곱하면 식이 깔끔해지는 이유, 알고 계신가요?
이 문제는 지수식의 분수 꼴을 정리하는 서술형 대표 유형입니다. (aˣ + a⁻ˣ)/(aˣ − a⁻ˣ) = 3/2 조건에서 분모·분자에 aˣ를 곱해 a²ˣ 값을 먼저 구하고, 이를 세제곱하여 a⁶ˣ을 구하는 2단계 서술형 풀이입니다. “왜 aˣ를 곱하지?” 하고 의문이 드는 학생이라면 이 포스트에서 원리를 완전히 잡아 가세요. 정답은 125입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 91번 · 서술형)
실수 x에 대하여 (aˣ + a⁻ˣ)/(aˣ − a⁻ˣ) = 3/2일 때, a⁶ˣ의 값을 구하는 서술형 문제입니다. (단, a > 0)
[1단계] 분모, 분자에 각각 aˣ를 곱하여 a²ˣ의 값을 구한다. [8점]
[2단계] a⁶ˣ의 값을 구한다. [2점]
정답은 125입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
(aˣ + a⁻ˣ)/(aˣ − a⁻ˣ) = 3/2에서 좌변의 분모·분자에 각각 aˣ를 곱하면
aˣ(aˣ + a⁻ˣ) / aˣ(aˣ − a⁻ˣ) = (a²ˣ + 1)/(a²ˣ − 1) = 3/2
교차 곱하면 2(a²ˣ + 1) = 3(a²ˣ − 1) → 2a²ˣ + 2 = 3a²ˣ − 3
∴ a²ˣ = 5
a⁶ˣ = (a²ˣ)³ = 5³ = 125
∴ a⁶ˣ = 125
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 분모·분자에 aˣ를 곱한다는 발상을 떠올리지 못해 a⁻ˣ를 처리하지 못하는 경우.
aˣ × a⁻ˣ = a⁰ = 1이라는 점을 기억하면 분수가 깔끔하게 정리됩니다.
실수 ② 교차 곱(크로스 곱) 후 부호를 실수하여 a²ˣ 값을 잘못 구하는 경우.
2(a²ˣ + 1) = 3(a²ˣ − 1)에서 우변의 −1에 3을 곱할 때 −3이 되는 것을 놓치지 마세요.
실수 ③ a⁶ˣ = (a²ˣ)³이라는 지수법칙을 떠올리지 못해 처음부터 다시 푸는 경우.
지수의 곱셈 규칙 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ을 활용하면 1단계 결과를 바로 쓸 수 있습니다.
💡 꿀팁 – aˣ + a⁻ˣ 꼴 정리 전략
aˣ + a⁻ˣ 또는 aˣ − a⁻ˣ가 들어간 식은 t = aˣ 치환 또는 분모·분자에 aˣ 곱하기로 정리하는 것이 정석입니다.
① 분수 꼴이면 → 분모·분자에 aˣ를 곱해 a⁻ˣ를 제거
② 등식·부등식이면 → t = aˣ (t > 0)로 치환 후 t에 대한 방정식으로 변환
이 패턴은 내신·수능에서 반복 출제되므로 손에 익혀 두면 큰 도움이 됩니다.