📌 ab = bc + ca 라는 조건, 어떻게 1/c = 1/a + 1/b로 바꿀 수 있을까요?
이 문제는 최다빈출 왕중요로 표시된 핵심 유형입니다. 3ᵃ = 5ᵇ = kᶜ에서 공통값을 치환한 뒤, ab = bc + ca 조건을 양변을 abc로 나누면 1/c = 1/a + 1/b가 됩니다. k^(c/a) = 3, k^(c/b) = 5이므로 k^(c/a) × k^(c/b) = k^(c(1/a + 1/b)) = k^(c · 1/c) = k¹ = 3 × 5 = 15입니다. 정답은 ② 15입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 80번 · 최다빈출 왕중요)
세 양수 a, b, c가 (가) 3ᵃ = 5ᵇ = kᶜ, (나) ab = bc + ca를 모두 만족시킬 때, 1이 아닌 양수 k의 값을 구하는 문제입니다. ab = bc + ca → 1/c = 1/a + 1/b 변환과 공통값 치환의 결합이 핵심입니다. 정답은 ②입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
3ᵃ = kᶜ에서 양변을 1/a제곱하면 (3ᵃ)^(1/a) = (kᶜ)^(1/a) ∴ 3 = k^(c/a) … ㉮
5ᵇ = kᶜ에서 양변을 1/b제곱하면 (5ᵇ)^(1/b) = (kᶜ)^(1/b) ∴ 5 = k^(c/b) … ㉯
㉮ × ㉯를 하면 3 × 5 = 15 = k^(c/a) × k^(c/b) = k^(c/a + c/b) = k^(c(1/a + 1/b))
이때 ab = bc + ca이므로 (bc + ca)/ab = 1, 즉 1/a + 1/b = ab/(bc + ca) · (1/a + 1/b)… 가 아닌,
ab = bc + ca의 양변을 abc로 나누면 1/c = 1/a + 1/b
따라서 k^(c · 1/c) = k^1 = k = 15입니다.
3ᵃ = 5ᵇ = kᶜ에서 각 변에 b제곱하면 3^(ab) = 5^(b²) = k^(bc) ∴ 3^(ab) = k^(bc) … ㉮
3ᵃ = 5ᵇ = kᶜ에서 각 변에 a제곱하면 3^(a²) = 5^(ab) = k^(ca) ∴ 5^(ab) = k^(ca) … ㉯
㉮ × ㉯를 하면 3^(ab) × 5^(ab) = k^(bc) × k^(ca), (3 × 5)^(ab) = k^(bc + ca)
ab = bc + ca이므로 15^(ab) = k^(ab), 따라서 k = 15입니다.
3ᵃ = 5ᵇ = kᶜ = t (t > 1)라 두고 a, b, c를 로그로 나타내면
3ᵃ = t에서 a = log₃t, 5ᵇ = t에서 b = log₅t, kᶜ = t에서 c = log_k t
ab = bc + ca에서 양변을 abc로 나누면 1/c = 1/a + 1/b
1/(log_k t) = 1/(log₃t) + 1/(log₅t), 즉 log_t k = log_t 3 + log_t 5 = log_t 15
따라서 k = 15입니다.
∴ k = 15 → 정답: ②
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① ab = bc + ca 조건을 1/c = 1/a + 1/b로 변환하지 못하는 경우.
양변을 abc로 나누면 1/c = 1/a + 1/b가 됩니다. 이 변환은 이 유형의 필수 기술이니 반드시 익히세요.
실수 ② k^(c/a + c/b) = k^(c(1/a + 1/b))에서 c를 묶어내는 것을 놓치는 경우.
c/a + c/b = c(1/a + 1/b) = c · (1/c) = 1이라는 깔끔한 결과를 얻는 것이 이 문제의 묘미입니다.
실수 ③ “1이 아닌 양수 k”라는 조건을 무시하는 경우.
k = 1이면 kᶜ = 1이 되어 3ᵃ = 5ᵇ = 1, 즉 a = b = 0이 되므로 양수 조건에 모순됩니다.
💡 꿀팁 – “abc 조건 → 1/c 꼴 변환” 필수 테크닉
이 유형에서 가장 중요한 테크닉은 abc 관련 등식을 abc로 나누어 역수 관계로 변환하는 것입니다.
① ab = bc + ca → 양변을 abc로 나누면 → 1/c = 1/a + 1/b
② 75번의 (a-2)(b-2) = 4도 비슷하게 전개 후 1/a + 1/b 관계를 유도했습니다.
이처럼 곱·합 관계 → 역수 관계 변환은 지수 문제의 핵심 기술이므로 꼭 체화해두세요.