📌 abc = 64라는 조건이 추가됐습니다. 76·77번과 뭐가 다를까요?
이 문제는 최다빈출 왕중요 표시가 붙은 핵심 유형입니다. 76·77번에서는 1/x + 1/y + 1/z 값이 주어졌지만, 이번에는 abc = 64가 주어지고 1/x + 1/y + 1/z를 역으로 구해야 합니다. aˣ = bʸ = cᶻ = 8에서 a = 2^(3/x), b = 2^(3/y), c = 2^(3/z)로 변환한 뒤 abc = 2^(3(1/x + 1/y + 1/z)) = 64 = 2⁶으로 방정식을 세우면 깔끔하게 풀립니다. 정답은 ⑤ 2입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 78번 · 최다빈출 왕중요)
양수 a, b, c에 대하여 abc = 64, aˣ = bʸ = cᶻ = 8일 때 1/x + 1/y + 1/z의 값을 구하는 문제입니다. (단, xyz ≠ 0) 8 = 2³, 64 = 2⁶이므로 밑을 2로 통일하면 지수끼리 비교로 해결됩니다. 정답은 ⑤입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
aˣ = 8에서 양변을 1/x제곱하면 (aˣ)^(1/x) = (2³)^(1/x) ∴ a = 2^(3/x) … ㉮
bʸ = 8에서 양변을 1/y제곱하면 (bʸ)^(1/y) = (2³)^(1/y) ∴ b = 2^(3/y) … ㉯
cᶻ = 8에서 양변을 1/z제곱하면 (cᶻ)^(1/z) = (2³)^(1/z) ∴ c = 2^(3/z) … ㉰
㉮ × ㉯ × ㉰를 하면 abc = 2^(3/x) × 2^(3/y) × 2^(3/z) = 2^(3/x + 3/y + 3/z) = 2^(3(1/x + 1/y + 1/z))
이때 abc = 64이므로 2^(3(1/x + 1/y + 1/z)) = 2⁶
따라서 3(1/x + 1/y + 1/z) = 6이므로 1/x + 1/y + 1/z = 2입니다.
aˣ = 8에서 x = log_a 8이므로 1/x = log₈a
bʸ = 8에서 y = log_b 8이므로 1/y = log₈b
cᶻ = 8에서 z = log_c 8이므로 1/z = log₈c
이때 1/x + 1/y + 1/z = log₈a + log₈b + log₈c = log₈(abc)
따라서 abc = 64이므로 1/x + 1/y + 1/z = log₈64 = 6/3 = 2입니다.
∴ 1/x + 1/y + 1/z = 2 → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a = 2^(3/x)에서 abc를 곱할 때 지수의 덧셈을 잘못 처리하는 경우.
2^(3/x) × 2^(3/y) × 2^(3/z) = 2^(3/x + 3/y + 3/z) = 2^(3·(1/x + 1/y + 1/z))임을 정확히 써야 합니다.
실수 ② 3(1/x + 1/y + 1/z) = 6에서 3을 나누는 것을 잊고 답을 6으로 쓰는 실수.
마지막에 반드시 3으로 나누어 1/x + 1/y + 1/z = 2를 구해야 합니다.
실수 ③ 로그 풀이에서 log₈64 = log₈(8²) = 2를 정확히 계산해야 합니다.
💡 꿀팁 – 76·77·78번 유형 비교 정리
이 세 문제는 같은 뼈대에서 “무엇이 주어지고 무엇을 구하는가”만 다릅니다.
76번: 2ˣ = 3ʸ = 6ᶻ = a, 1/x+1/y+1/z = 2 → a를 구함
77번: aˣ = bʸ = cᶻ = 243, 1/x+1/y+1/z = 3/5 → abc를 구함
78번: aˣ = bʸ = cᶻ = 8, abc = 64 → 1/x+1/y+1/z를 구함
풀이 구조는 모두 동일: 1/x제곱 변환 → 곱셈 → 지수 조건 대입. 세 문제를 연달아 풀면 패턴이 완전히 체화됩니다.