📌 aˣ = bʸ = cᶻ = 243인데 abc를 구하라고? 76번 패턴의 역방향입니다!
이 문제는 76번과 같은 Aˣ = Bʸ = Cᶻ = 상수 유형이지만, 이번에는 a를 구하는 것이 아니라 abc를 구하는 역방향 문제입니다. aˣ = bʸ = cᶻ = 243에서 양변을 1/x, 1/y, 1/z제곱하면 a = 243^(1/x), b = 243^(1/y), c = 243^(1/z)이 되고, abc = 243^(1/x + 1/y + 1/z) = 243^(3/5) = (3⁵)^(3/5) = 3³ = 27입니다. 정답은 27입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 77번)
세 양수 a, b, c와 0이 아닌 세 실수 x, y, z가 aˣ = bʸ = cᶻ = 243, 1/x + 1/y + 1/z = 3/5를 만족시킬 때 abc의 값을 구하는 문제입니다. 243 = 3⁵임을 이용하여 abc = 243^(3/5) = 27로 계산합니다. 정답은 27입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
aˣ = 243에서 양변을 1/x제곱하면 a = 243^(1/x) … ㉮
bʸ = 243에서 양변을 1/y제곱하면 b = 243^(1/y) … ㉯
cᶻ = 243에서 양변을 1/z제곱하면 c = 243^(1/z) … ㉰
㉮ × ㉯ × ㉰에서 abc = 243^(1/x) × 243^(1/y) × 243^(1/z) = 243^(1/x + 1/y + 1/z)
이때 1/x + 1/y + 1/z = 3/5이므로 243^(3/5) = (3⁵)^(3/5) = 3³ = 27입니다.
aˣ = 243에서 x = log_a 243이므로 1/x = log₂₄₃a
bʸ = 243에서 y = log_b 243이므로 1/y = log₂₄₃b
cᶻ = 243에서 z = log_c 243이므로 1/z = log₂₄₃c
이때 1/x + 1/y + 1/z = log₂₄₃a + log₂₄₃b + log₂₄₃c = log₂₄₃(abc) = (1/5)log₃(abc)
따라서 (1/5)log₃(abc) = 3/5, log₃(abc) = 3이므로 abc = 3³ = 27입니다.
∴ abc = 27 → 정답: 27
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 243 = 3⁵라는 소인수분해를 빠르게 떠올리지 못하는 경우.
243 = 3 × 81 = 3 × 3⁴ = 3⁵입니다. 3의 거듭제곱(3, 9, 27, 81, 243)은 반드시 암기하세요.
실수 ② 243^(3/5)를 계산할 때 (3⁵)^(3/5) = 3^(5×3/5) = 3³으로 지수법칙을 정확히 적용해야 합니다.
(aᵐ)ⁿ = a^(mn)이지 a^(m+n)이 아닙니다.
실수 ③ 76번과 혼동하여 “abc가 아닌 a를 구하는 문제”로 착각하는 경우.
문제에서 무엇을 구하라고 했는지 반드시 한 번 더 확인하세요.
💡 꿀팁 – 76번과의 차이를 명확히 구별하자
76번은 2ˣ = 3ʸ = 6ᶻ = a → “a^(1/x) = 2” 방향 (공통값 a를 밑으로)
77번은 aˣ = bʸ = cᶻ = 243 → “a = 243^(1/x)” 방향 (상수 243을 밑으로)
핵심 차이: 76번은 공통값이 미지수, 77번은 공통값이 상수입니다.
어느 쪽이든 곱셈 → 지수 덧셈 → 조건 대입 3단계는 동일합니다.