📌 2ˣ = 3ʸ = 6ᶻ = a… 밑이 세 개나 다른데 어떻게 풀까요?
이 문제는 학교기출 대표유형으로, Aˣ = Bʸ = Cᶻ = a 꼴에서 양변을 각각 1/x, 1/y, 1/z제곱하여 a^(1/x) = 2, a^(1/y) = 3, a^(1/z) = 6으로 변환한 뒤, 세 식을 곱하면 a^(1/x + 1/y + 1/z) = 2 × 3 × 6 = 36을 얻습니다. 1/x + 1/y + 1/z = 2이므로 a² = 36, 즉 a = 6입니다. 정답은 6입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 76번 · 학교기출 대표유형)
세 실수 x, y, z에 대하여 2ˣ = 3ʸ = 6ᶻ = a, 1/x + 1/y + 1/z = 2일 때 양수 a의 값을 구하는 문제입니다. (단, xyz ≠ 0) 밑을 a로 통일하여 1/x제곱 변환 후 곱셈으로 조건식을 활용하는 전형적인 패턴입니다. 정답은 6입니다.
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※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
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🔍 핵심 풀이 요약
2ˣ = a에서 양변을 1/x제곱하면 (2ˣ)^(1/x) = a^(1/x) ∴ a^(1/x) = 2 … ㉮
3ʸ = a에서 양변을 1/y제곱하면 (3ʸ)^(1/y) = a^(1/y) ∴ a^(1/y) = 3 … ㉯
6ᶻ = a에서 양변을 1/z제곱하면 (6ᶻ)^(1/z) = a^(1/z) ∴ a^(1/z) = 6 … ㉰
㉮ × ㉯ × ㉰에서 a^(1/x) × a^(1/y) × a^(1/z) = a^(1/x + 1/y + 1/z) = 2 × 3 × 6 = 36
이때 1/x + 1/y + 1/z = 2이므로 a² = 36
따라서 a > 0이므로 a = 6입니다.
2ˣ = a에서 x = log₂a이므로 1/x = log_a 2
3ʸ = a에서 y = log₃a이므로 1/y = log_a 3
6ᶻ = a에서 z = log₆a이므로 1/z = log_a 6
이때 1/x + 1/y + 1/z = log_a 2 + log_a 3 + log_a 6 = log_a 36 = 2log_a 6
따라서 1/x + 1/y + 1/z = 2이고 2log_a 6 = 2, log_a 6 = 1이므로 a = 6입니다.
∴ a = 6 → 정답: 6
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 2 × 3 × 6 = 36 계산에서 2 × 3 = 6, 6 × 6 = 36을 정확히 해야 합니다. 단순 곱셈이지만 시험장에서 서두르면 실수하기 쉽습니다.
실수 ② a² = 36에서 a = ±6으로 두 답을 쓰는 경우.
“양수 a”라는 조건을 놓치면 안 됩니다.
실수 ③ 2 × 3 = 6이므로 “6ᶻ = (2×3)ᶻ”이니 z식이 불필요하다고 잘못 판단하는 경우.
6ᶻ ≠ 2ᶻ × 3ᶻ가 아니라 6ᶻ = a라는 독립적 조건이므로 세 번째 식도 반드시 활용해야 합니다.
💡 꿀팁 – “1/x제곱 → 곱셈” 3변수 통합 패턴
Aˣ = Bʸ = Cᶻ = a 유형은 항상 같은 3단계로 풀립니다.
① 각 식을 1/x, 1/y, 1/z제곱 → a^(1/x) = A, a^(1/y) = B, a^(1/z) = C
② 세 식을 곱하기 → a^(1/x + 1/y + 1/z) = ABC
③ 조건값 대입 → aⁿ = ABC → a 결정
이 패턴은 77, 78번에서도 동일하게 적용되니 여기서 확실히 익혀두세요.