📌 27ˣ = 3ʸ = a 에서 a를 어떻게 구할까? 시험에 가장 많이 나오는 유형입니다!
이 문제는 최다빈출 왕중요 표시가 붙은 핵심 기출 유형입니다. 27ˣ = 3ʸ = a라는 조건에서 양변을 1/x, 1/y제곱하여 a^(1/x) = 27, a^(1/y) = 3이라는 관계를 만든 뒤, 1/x − 1/y = 2 조건을 지수에 대입하면 a² = 9, 즉 a = 3을 구할 수 있습니다. 정답은 ② 3입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 74번 · 최다빈출 왕중요)
27ˣ = 3ʸ = a이고 1/x − 1/y = 2일 때, 양수 a의 값을 구하는 문제입니다. Aˣ = a → a^(1/x) = A 변환을 적용하여 a^(1/x) = 27, a^(1/y) = 3을 만들고, 나눗셈으로 a^(1/x − 1/y) = 27/3 = 9 = a²를 유도합니다. 정답은 ②입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
27ˣ = a에서 양변을 1/x제곱하면 (27ˣ)^(1/x) = a^(1/x) ∴ a^(1/x) = 27 … ㉮
3ʸ = a에서 양변을 1/y제곱하면 (3ʸ)^(1/y) = a^(1/y) ∴ a^(1/y) = 3 … ㉯
㉮ ÷ ㉯에서 a^(1/x) ÷ a^(1/y) = a^(1/x − 1/y) = 27 ÷ 3 = 9이고,
1/x − 1/y = 2이므로 a² = 9입니다.
따라서 a > 0이므로 a = 3입니다.
27ˣ = a에서 x = log₂₇a이므로 1/x = log_a 27
3ʸ = a에서 y = log₃a이므로 1/y = log_a 3
이때 1/x − 1/y = log_a 27 − log_a 3 = log_a 9 = 2log_a 3
따라서 1/x − 1/y = 2이고 2log_a 3 = 2, log_a 3 = 1이므로 a = 3입니다.
∴ a = 3 → 정답: ②
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① a^(1/x) = 27, a^(1/y) = 3 변환을 떠올리지 못하고 x, y를 직접 구하려는 경우.
27 = 3³이므로 27ˣ = 3ʸ에서 3^(3x) = 3ʸ → 3x = y로 풀 수도 있지만, 1/x − 1/y 조건과 결합하면 미지수가 2개(x, y)인 연립방정식이 되어 복잡해집니다.
실수 ② a² = 9에서 a = ±3으로 두 답을 쓰는 경우.
문제에서 “양수 a”라는 조건이 있으므로 반드시 a = 3만 답입니다.
실수 ③ ㉮ ÷ ㉯ 과정에서 지수 뺄셈 부호를 반대로 적용하는 실수.
a^(1/x) ÷ a^(1/y) = a^(1/x − 1/y)입니다. 순서에 주의하세요.
💡 꿀팁 – “Aˣ = Bʸ = a” 유형 만능 풀이 틀
Aˣ = Bʸ = a 꼴 문제는 항상 같은 3단계로 풀립니다.
① 양변을 1/x, 1/y제곱 → a^(1/x) = A, a^(1/y) = B
② 나눗셈(또는 곱셈) → a^(조건식) = A/B (또는 A×B)
③ 조건식 값 대입 → aⁿ = 값 → a 결정
이 틀만 암기해두면 76~82번까지 연속으로 나오는 동일 유형을 모두 같은 방법으로 해결할 수 있습니다.