📌 TOUGH 문제! 두 등식을 곱·나눠서 5ᵃ, 5ᵇ를 분리한 뒤 4의 지수로 변환하는 고급 테크닉!
이 문제는 5^(2a+b) = 32와 5^(a−b) = 2 두 등식을 연립하여 5ᵃ, 5ᵇ(또는 4^(1/a), 2^(1/b))를 구한 뒤, 4^((a+b)/(ab))를 계산하는 고난도 유형입니다. 지수법칙과 밑 변환이 동시에 필요하며, (a+b)/(ab) = 1/a + 1/b로 분리하는 것이 핵심입니다. 정답은 125입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 70번 · 최다빈출 왕중요 · TOUGH)
두 실수 a, b에 대하여 5^(2a+b) = 32, 5^(a−b) = 2일 때, 4^((a+b)/(ab))의 값을 구하시오. 정답은 125입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
5^(2a+b) = 32 = 2⁵, 5^(a−b) = 2에서
두 식을 곱하면: 5^(2a+b) × 5^(a−b) = 5^(2a+b+a−b) = 5^(3a) = 2⁵ × 2 = 2⁶
5^(3a) = 64 = 4³ ∴ 5ᵃ = 4
5^(a−b) = 2에서 5ᵃ / 5ᵇ = 2, 4 / 5ᵇ = 2 ∴ 5ᵇ = 2
5ᵃ = 4에서 4^(1/a) = 5, 5ᵇ = 2에서 2^(1/b) = 5
(a+b)/(ab) = 1/b + 1/a이므로
4^((a+b)/(ab)) = 4^(1/a + 1/b) = 4^(1/a) × 4^(1/b)
= 4^(1/a) × (2²)^(1/b) = 4^(1/a) × (2^(1/b))²
= 5 × 5² = 5 × 25 = 125
5^(2a+b) = 32에서 로그의 정의에 의하여 2a+b = log₅32 …… ㉠
5^(a−b) = 2에서 로그의 정의에 의하여 a−b = log₅2 …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a = log₅4, b = log₅2
(a+b)/(ab) = 1/a + 1/b = log₄5 + log₂5 = log₄5 + log₄25 = log₄125
따라서 4^((a+b)/(ab)) = 4^(log₄125) = 125
∴ 정답: 125
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 두 등식을 더하거나 빼서 연립하려는 시도.
지수 등식은 지수끼리 더하는 것이 아니라, 밑이 같은 등식을 곱하거나 나누어 지수를 조작합니다.
실수 ② (a+b)/(ab) = 1/a + 1/b 분리를 떠올리지 못하는 경우.
이 분리가 핵심 아이디어입니다. “분수의 분자가 합이면 역수의 합으로 분리”를 암기하세요.
실수 ③ 4^(1/b)를 계산할 때 (2²)^(1/b) = 2^(2/b) = (2^(1/b))² = 5² = 25로 전개하는 과정을 놓치는 경우.
💡 꿀팁 – TOUGH 지수 연립의 3단계 전략
① 두 등식을 곱하거나 나누어 변수를 하나씩 분리한다 (5ᵃ = ?, 5ᵇ = ?)
② 구하는 식의 지수를 1/a, 1/b의 합·차 등으로 분해한다
③ 5ᵃ = 4 → 4^(1/a) = 5처럼 밑과 지수를 교환하여 대입한다
이 전략은 70~82번 고난도 밑 통일 문제에서 반복적으로 쓰입니다.