📌 지수법칙으로 3ˣ, 2ˣ를 각각 a, b로 뽑아낸 뒤, 12ˣ를 소인수분해하는 핵심 전략!
이 문제는 밑을 같게 하여 식의 값 구하기(유형 12)의 대표 문제입니다. 3ˣ⁺¹−3ˣ에서 3ˣ를 공통인수로 묶고, 2ˣ⁺¹+2ˣ에서 2ˣ를 공통인수로 묶어 3ˣ = a/2, 2ˣ = b/3으로 표현한 뒤, 12ˣ = (2²×3)ˣ = 2²ˣ × 3ˣ로 소인수분해하여 대입합니다. 정답은 ④ ab²/18입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 67번 · 학교기출 대표유형)
실수 x에 대하여 3ˣ⁺¹ − 3ˣ = a, 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = b일 때, 12ˣ를 a, b를 이용하여 나타낸 것을 구하는 문제입니다. 정답은 ④ ab²/18입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
3ˣ⁺¹ − 3ˣ = 3 × 3ˣ − 3ˣ = 2 × 3ˣ = a ∴ 3ˣ = a/2
2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 2 × 2ˣ + 2ˣ = 3 × 2ˣ = b ∴ 2ˣ = b/3
12ˣ = (2² × 3)ˣ = 2²ˣ × 3ˣ = (2ˣ)² × 3ˣ
= (b/3)² × (a/2) = (b²/9) × (a/2) = ab²/18
∴ 정답: ④ ab²/18
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 3ˣ⁺¹ = 3ˣ + 1로 잘못 전개하는 경우.
3ˣ⁺¹ = 3¹ × 3ˣ = 3·3ˣ입니다. 지수법칙 aᵐ⁺ⁿ = aᵐ × aⁿ을 정확히 적용하세요.
실수 ② 12ˣ를 소인수분해할 때 12 = 4 × 3 = 2² × 3임을 잊고 12ˣ = 4ˣ × 3ˣ로 쓴 뒤 4ˣ를 (2ˣ)²로 변환하지 못하는 경우.
실수 ③ (b/3)² = b²/3으로 잘못 계산하는 경우. (b/3)² = b²/9입니다.
💡 꿀팁 – 밑을 같게 하여 식의 값 구하기 2단계 전략
① 주어진 식에서 공통인수를 묶어 기본 밑(2ˣ, 3ˣ, 5ˣ 등)을 a, b로 표현한다.
② 구하는 식을 소인수분해하여 기본 밑의 거듭제곱으로 변환 → a, b를 대입한다.
이 2단계를 기계적으로 적용하면 67~82번까지 밑 통일 유형을 모두 처리할 수 있습니다.